Erste Dimension: Modellvergleich<\/b><\/h4>\n
Im Folgenden gehen wir von zwei Theorien T<\/i> und T <\/i>0<\/sup> aus, deren Komponenten wir hier auf folgende Weise abk\u00fcrzen: T<\/i> = \u2329 STR<\/i>, M<\/i>, I<\/i>, D<\/i>, dist <\/i>\u232a und T <\/i>0<\/sup> = \u2329 STR <\/i>0<\/sup>, M <\/i>0<\/sup>, I <\/i>0<\/sup>, D <\/i>0<\/sup>, dist <\/i>0<\/sup> \u232a. Ein Mo\u00addell x<\/i> aus M<\/i> hat die Form \u2329 G<\/i>1<\/sub>, …, G<\/i>\u03ba<\/sub>, A<\/i>1<\/sub>, …, A\u03bc<\/sub><\/i>, R<\/i>1<\/sub>, …, R\u03bd<\/sub><\/i> \u232a und ein Modell x <\/i>0<\/sup> aus M <\/i>0<\/sup> die Form \u2329 G<\/i>0<\/sup>1<\/sub>, …, G<\/i>0<\/sup>\u03ba0<\/sup><\/sub>, A<\/i>0<\/sup>1<\/sub>, …, A<\/i>0<\/sup>\u03bc0<\/sup><\/sub>, R<\/i>0<\/sup>1<\/sub>, …, R<\/i>0<\/sup>\u03bd0<\/sup><\/sub> \u232a.<\/p>\n In der ersten Dimension, dem Modellvergleich, werden Modelle und die zugeh\u00f6rigen Hypo\u00adthe\u00adsen der beiden Theorien verglichen.<\/p>\n Es werden zwei Begriffsfamilien er\u00f6rtert, die mit den folgenden Termen bezeichnet werden:<\/p>\n Bei einer ersten Art von Einbettung<\/i> wird ein Teil eines Modells x<\/i> in einen Teil eines anderen Modells x 0<\/sup><\/i> eingebettet. Im einfachsten Fall wird eine Grundmenge G<\/i>i<\/sub> von x<\/i> in eine Grund\u00admenge G<\/i>0<\/sup>j<\/sub> von x <\/i>0<\/sup> eingebettet. Dazu m\u00fcssen die Typisierungen der Modelle von M<\/i> und M <\/i>0<\/sup> bekannt sein. Genauer ist G<\/i>i<\/sub> die i<\/i>-te Grundmenge von x<\/i>, G<\/i>0<\/sup>j<\/sub> die j<\/i>-te Grundmenge von x <\/i>0<\/sup> und G<\/i>i<\/sub> eine echte oder unechte Teilmenge von G<\/i>0<\/sup>j<\/sub>, das hei\u00dft G<\/i>i<\/sub>\u00a0\u2282 G<\/i>0<\/sup>j<\/sub> oder G<\/i>i<\/sub>\u00a0\u2286 G<\/i>0<\/sup>j<\/sub>. Oft sind die Grund\u00admengen in beiden Modellen auf derselben Stelle aufgef\u00fchrt: i<\/i> = j <\/i>0<\/sup>. Auf dieselbe Weise lassen sich Hilfsbasismengen aus einem Modell x<\/i> in Hilfsbasismengen aus einem Modell x <\/i>0<\/sup> einbetten.<\/p>\n Bei einer zweiten Art von Einbettung<\/i> wird eine Relation R<\/i>i<\/sub> aus einem Modell x<\/i> von T<\/i> in eine Relation R<\/i>0<\/sup>j<\/sub> aus einem Modell x <\/i>0<\/sup> von T <\/i>0<\/sup> eingebettet. In diesen F\u00e4llen m\u00fcssen die Typisierun\u00adgen \u03c4i<\/sub> und \u03c40<\/sup>j<\/sub> der Relationen und ihre Ordnungsindizes genau angegeben werden. Genauer wird diese Einbettung wie folgt formuliert: es gibt Typisierungen \u03c4i<\/sub> und \u03c40<\/sup>j<\/sub> , so dass es f\u00fcr jedes Modell x<\/i>\u00a0\u2208 M<\/i> und f\u00fcr jede Relation R<\/i>i<\/sub> der Typisierung \u03c4i<\/sub> aus x<\/i> ein Modell x <\/i>0<\/sup>\u00a0\u2208 M <\/i>0<\/sup> und eine Relation R<\/i>0<\/sup>j<\/sub> der Typisierung \u03c40<\/sup>j<\/sub> aus x <\/i>0<\/sup> gibt, so dass R<\/i>i<\/sub> eine echte Teilmenge von R<\/i>0<\/sup>j<\/sub> ist, kurz: R<\/i>i<\/sub>\u00a0\u2282 R<\/i>0<\/sup>j<\/sub> .<\/p>\n Bei einer Theorienvermittlung<\/i> stehen die Komponenten zweier Modelle nicht in einem Teilmengenverh\u00e4ltnis. Zwei Kompo\u00adnenten m\u00fcssen auf eine andere Art und Weise verglichen werden; sie stehen nur noch vermit\u00adtelt in Beziehung. Die Teilmengenbeziehung wird so verallgemeinert, dass eine Komponente auf eine andere Komponente abgebildet<\/i> wird. Mengentheoretisch l\u00e4sst sich dies durch den Funktionsbegriff realisieren. Eine Funktion\u00a0\u03a6<\/em> wird als \u00abVermittler\u00bb f\u00fcr die Beziehung beider Kompo\u00adnenten verwendet.<\/p>\n Eine erste Art von Theorienvermittlung wird als \u00c4quivalenz<\/i> von Theorien T<\/i> und T<\/i> ‚<\/sup> bezeich\u00adnet. Es wird auch die Bezeichnung \u00e4quivalente Darstellung<\/i> verwendet. Auf Modellebene wird eine bijektive Abbildung\u00a0\u03c6 zwischen den Modellmengen M<\/i> und M<\/i> ‚<\/sup> eingef\u00fchrt. Die in\u00adverse Abbil\u00addung der Funktion\u00a0\u03c6 wird zum Beispiel so geschrieben: \u03c6^. Jedes Modell x<\/i> aus M<\/i> wird eindeutig in ein Modell x <\/i>‚ abgebildet: x <\/i>‚ = \u03c6 ( x <\/i>) – und umgekehrt wird jedes Modell x <\/i>‚<\/sup> aus M<\/i> ‚<\/sup> in ein Modell x<\/i> abgebildet: x<\/i> = \u03c6 ^ ( x <\/i>‚ ).<\/p>\n Auf der Sprachebene wird \u00c4quivalenz durch Ableitung ausgedr\u00fcckt. Die Hypothesen H<\/i> von T<\/i> werden durch die Hypothesen H<\/i> ‚<\/sup> von T<\/i> ‚<\/sup> abgeleitet – und umgekehrt. Solche \u00c4quivalenzen findet man bis jetzt fast nur in der Mathematik und der Physik.<\/p>\n Bei einer zweiten Art von Theorienvermittlung werden nur Teile von Komponenten in Bezie\u00adhung gesetzt. In der obigen Abbildung \u00abEinbettung von Komponenten zweier Modelle\u00bb enth\u00e4lt der Durchschnitt der Relationen R<\/i>i<\/sub> und R*<\/sup><\/i>j<\/sub> viele Ele\u00admente. Bei einer Theorienvermittlung kann ein solcher Durchschnitt hingegen leer sein. So kann es zum Beispiel sein, dass zwei Grundmengen kein einziges Element gemeinsam haben. Durch eine Funktion werden zwei disjunkte Relationen oder Grundmengen aufeinander abge\u00adbildet. Bei der hier er\u00f6rterten Situation k\u00f6nnen wir in der obigen Abbildung die Relationen R<\/i>i<\/sub> und R*<\/sup><\/i>j<\/sub> disjunkt werden lassen und eine Funktion\u00a0\u03c6 dazwischenschalten, so dass die Elemente (Er\u00adeig\u00adnisse) von R<\/i>i<\/sub> auf solche von R*<\/sup><\/i>j<\/sub> abgebildet werden.<\/p>\n Eine letzte Art von Vermittlung entsteht durch Verkn\u00fcpfung. Die Zuordnung geschieht nicht durch eine Funktion allein. Ein Argument der Funktion\u00a0\u03b7 wird durch eine Gleichung oder durch eine andere abstrakte Beziehung in einen Funktionswert von\u00a0\u03b7 transformiert.<\/p>\n In der zweiten Dimension wird mit dem Vergleich der Faktensammlungen die Vermittlung von der Modellebene auf die Ebene der Faktensammlungen heruntergezogen. Bei einer Vermitt\u00adlung zwischen Faktensammlungen geht es im Wesentlichen um \u00abkleine\u00bb Mengen von realen, ele\u00admentaren Ereignissen. Bei einer Vermittlung zwischen Modellen geht es dagegen meist um unendlich viele Elemente, die durch Terme mit Variablen beschrieben werden. Auf Ebene der Faktensammlungen werden also Fakten in den Vordergrund ger\u00fcckt, w\u00e4hrend es auf der Modellebene um Hypothesen geht.<\/p>\n Eine Faktensammlung besteht aus Listen von Mengen von elementaren Ereignissen und Sach\u00adverhalten. F\u00fcr eine solche Menge liegt aber kein allgemein formulierter Satz vor. Meist wird eine Komponente einer Faktensammlung wieder als eine Liste von Ereignissen, Sach\u00adverhalten oder Objekten gef\u00fchrt. Jedes real untersuchte Ereignis erh\u00e4lt eine Bezeichnung, die das Ereignis identifiziert. Dagegen geht es in einem Modell um allgemeine, variabel ausge\u00addr\u00fcckte Ereignisse oder Sachverhalte. Der Zusammenhalt von Ereignissen entsteht erst auf der Modellebene, wenn Hypothesen f\u00fcr das Modell beschrieben werden.<\/p>\n In der vierten Dimension werden die Approximationsapparate zweier Theorien verglichen.<\/p>\n Zwei Theorien k\u00f6nnen die gleiche Approximationsmethode verwenden. In diesem Fall l\u00e4sst sich der Vergleich auf Abstandskonstanten zur\u00fcckf\u00fchren. Diese Konstanten h\u00e4ngen von der Anzahl der Faktensammlungen, der jewei\u00adligen Gr\u00f6\u00dfe einzelner Faktensammlungen und von der Struktur der Modelle der Theorien ab. Wenn es in der Theorie T<\/i> beispielsweise um wenige Faktensammlungen geht, kann keine Faktensammlung vernachl\u00e4ssigt werden. Eine Umgebungskonstante k<\/i>D<\/i><\/sub> f\u00fcr die Menge D<\/i> der Fak\u00adtensammlungen kann in diesem Fall nicht variiert werden. Nur die Umgebungskonstante k<\/i>x<\/sub>, die von der Anzahl der Elemente in den Grundmengen der Modelle x<\/i> abh\u00e4ngt, l\u00e4sst sich variieren. Wenn eine neue, \u00abbessere\u00bb Theorie T <\/i>0<\/sup> gefunden wird, m\u00fcssen die Konstanten \u2329 k<\/i>D<\/i><\/sub>, k<\/i>x<\/sub>\u00a0\u232a mit den entsprechenden Konstanten \u2329 k<\/i>0<\/sup>D<\/i>0<\/sup><\/sub>, k<\/i>0<\/sup>x0<\/sup><\/sub>\u00a0\u232a der Theorie T <\/i>0<\/sup> verglichen werden. Die Gewichtung der Konstanten und die Struktur der Modelle kommen ins Spiel. All dies f\u00fchrt in die Statistik, die f\u00fcr die Wissenschaftstheorie inzwischen unerl\u00e4sslich geworden ist.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Theorienvergleich Vier Dimensionen des Vergleichs Wir unterscheiden vier Dimensionen des Vergleichs, die auch mit dem strukturalistischen Begriffsapparat beschrieben werden k\u00f6nnen. Diese vier Dimensionen bezeichnen wir wie folgt: Modellvergleich Vergleich der Faktensammlungen Vergleich der wissenschaftlichen Anspr\u00fcche Approximationsvergleich Erste Dimension: Modellvergleich Im Folgenden gehen wir von zwei Theorien T und T 0 aus, deren Komponenten wir hier […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[5],"tags":[],"class_list":["post-4174","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-2019-sose-seminar-wissenschaftstheorie-und-simulation-von-wissenschaftstheoretischen-modulen"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4174","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4174"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4174\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4635,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4174\/revisions\/4635"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4174"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4174"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4174"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
Modellvergleich durch Einbettung<\/b><\/h5>\n
Einbettung von Komponenten zweier Modelle<\/b><\/h6>\n
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<\/p>\nModelle mit einer zus\u00e4tzlichen Relation R<\/b>*<\/b><\/sup><\/h6>\n
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<\/p>\nModellvergleich durch Vermittlung<\/b><\/h5>\n
Zwei \u00e4quivalente Darstellungen eines Raumes<\/b><\/h6>\n
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<\/p>\nTheorienvermittlung durch Verkn\u00fcpfung<\/b><\/h6>\n
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<\/p>\nZweite Dimension: Vergleich der Faktensammlungen<\/b><\/h4>\n
Gemeinsame Fakten aus Faktensammlungen<\/b><\/h5>\n
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<\/p>\nDritte Dimension: Vergleich der wissenschaftlichen Anspr\u00fcche<\/b><\/h4>\n
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<\/p>\nVierte Dimension: Approximationsvergleich<\/b><\/h4>\n