Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder (GMS)

Grundmengen
P   Menge von materiellen Objekten
T   Menge der Zeitpunkte

Hilfsbasismengen
\mathbb{N}   die Menge der natürlichen Zahlen
\mathbb{R}   die Menge der reellen Zahlen

Relationen
s   Ortsfunktion
m  Massefunktion
f   Kraftfunktion

Konstanten
k   Federkonstante
p1, p2p3   die einzelnen materiellen Objekte

Definition
\mathbb{R} 3   die Menge der 3-dimensionalen, reellen Vektoren

Typisierungen
θ1   s ∈ \cal FUN ( P × T : \mathbb{R} 3 )
θ2   m ∈ \cal FUN ( P : \mathbb{R} 3 )
θ3   f ∈ \cal FUN ( P × T × \mathbb{N} : \mathbb{R} 3 )
θ4   k ∈ \mathbb{R}
θ5   P = { p1, p2p3 } ∧ p1 ≠ p2 ≠ p3

Definitionen
\dot{s}(p,t) bedeutet «die erste Ableitung der Funktion s im zweiten Argument
\ddot{s}(p,t) bedeutet «die zweite Ableitung der Funktion s im zweiten Argument t»
∗ ist die skalare Multiplikation, d.h. wenn u eine reelle Zahl und z ein 3-dimensionaler, reeller Vektor ist, dann ist u ∗ z die skalare Multiplikation von u und z

Hypothesen
H1   T ⊆ \mathbb{R} und T ist ein offenes Intervall
H2   ∀ p ∈ P ( m ( p ) > 0 )
H3   ∀ i, j ∈ { 1, 2, 3 } ∀ t, t ‘ ∈ T ( s  ( pi, t ) – s ( pj, t ) = s ( pi, t ‘ ) – s ( pj, t ‘ ) )
H4   ∃ δ ∈ \mathbb{R} 3t ∈ T\ddot{s}(p_1,t) = δ )
H5   ∀ t ∈ T ∀ i ∈ \mathbb{N} ( f ( p1, t, i ) =  f ( p3, t, i ) = 0 )
H6   ∀ α ∈ \mathbb{R}f ( p2, t, i ) = – k ∗ ( \dot{s}(p_2,t) – \dot{s}(p_2,t) ) )
H7   ∃ β ∈ \mathbb{R}t ∈ Tf ( p2, t, i ) ) = β ∗ ( \dot{s}(p_2,\alpha) ) – \dot{s}(p_1,t) ) )
H8   ∀ t ∈ Tf ( p2, t, 1 ) = – f ( p2, t, 2 ) )
H9   ∀ i ∈ \mathbb{N}t ∈ T ( i > 2 → f ( p2, t, i ) = 0 )

Messmodelle
x ist ein Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder M(GMS) gdw es Mengen P, T, \mathbb{N}, \mathbb{R} 3, s, m, f und Konstanten kp1, p2p3 gibt, so dass gilt:

x = 〈 P, T, \mathbb{N}, \mathbb{R} 3, s, m, fkp1, p2p3

und die Relationen und Konstanten s, m, fkp1, p2p3 haben die Typen θ1, …, θ5 und die Hypothesen H1P, T, \mathbb{N}, \mathbb{R} 3, s, m, fkp1, p2p3 ) und … und H9P, T, \mathbb{N}, \mathbb{R} 3, s, m, fkp1, p2p3 ) gelten in x.

I(GMS) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Systeme, bei denen Objekt p1 die Erde, p2 ein fest aufgehängtes Objekt und k die Konstante der Sprungfeder ist.