Lagrange Mechanik (LAG) – Wissenschaftstheorie

Grundmengen
H Menge von Dimensionen
T Menge von Zeitpunkten

Hilfsbasismengen
$\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen
$\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen

Funktionen
q   generalisierte Koordinatenfunktion
K   kinetische Energiefunktion
Q   generalisierte Kraftfunktion

Konstante
h Anzahl der Dimensionen

Definitionen
$\mathbb{N}$ _h ist die Menge der natürlichen Zahlen { 1, …, h }
Für i ≤ h wird q_i : $\mathbb{R}$ → $\mathbb{R}$ wie folgt definiert: q_i ( t ) = q ( i, t )
q ( t ) ist eine Abkürzung für 〈 q₁ ( t ), …, q_h ( t ) 〉
$\dot{q}$ ( t ) = 〈 Dq₁ ( t ), …, Dq_h( t ) 〉

Typisierungen
θ₁   h ∈ $\mathbb{N}$
θ₂   q ∈ $\cal FUN$ ( $\mathbb{N}$ _h × T : $\mathbb{R}$ )
θ₃   K ∈ $\cal FUN$ ( $\mathbb{R}$ ^2h × T : $\mathbb{R}$ )
θ₄   Q ∈ $\cal FUN$ ( $\mathbb{N}$ _h × T : $\mathbb{R}$ )

Hypothesen
H₁   0 < h
H₂   T = $\mathbb{R}$
H₃   ∀ t ∈ $\mathbb{R}$ ∀ i ≤ h ( DD_h_+iK ( q ( t ), $\dot{q}$ ( t ), t ) – D_i K ( q ( t ), $\dot{q}$ ( t ), t ) = Q ( i, t ) )

Modelle
x ist ein Modell der Lagrange Mechanik M(LAG) gdw es h und Mengen H, q, K, Q gibt, so dass gilt:

x = 〈 H, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , h, q, K, Q 〉

und die Funktionen und Konstanten haben die Typen θ₁, …, θ₄ und die Hypothesen H₁ ( H, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , h, q, K, Q ), …, H₃ ( H, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , h, q, K, Q ) gelten in x.

I(LAG), ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Würfe an der Erdoberfläche
– Fallphänomene an der Erdoberfläche
– Planetensysteme

Verknüpfung

Definitionen
s_p : T → $\mathbb{R}$ ³ ist definiert durch s_p( t ) = s ( p, t ).
In ähnlicher Weise: X_p ( q ( t ), $\dot{q}$ ( t ), t ) = X ( p, q ( t ), $\dot{q}$ ( t ), t )
$\dot{s}$ _p ist die Ableitung von s_p

V(LAG,KPM) ist eine Verknüpfung von generalisierten und kartesischen Koordinaten
ver = 〈 x, y, X 〉 ist eine Verknüpfung von M(LAG) und M(KPM) gdw

1) 〈 P, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , s, m, f 〉 ∈ M(KPM) ∧ 〈 H, T ‘, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ , q, h, K, Q 〉 ∈ M(LAG)
2) T ⊆ T ‘
3) ∃ X : P × $\mathbb{R}$ ^h × T → $\mathbb{R}$ ³ (für alle t ∈ T und alle p ∈ P ( X ( p, q ( 1, t ), …, q ( h, t ), t ) = s ( p, t ) ∧ X_p ist stetig differenzierbar)
4) ∀ t ∈ T ( K ( q ( t ), $\dot{q}$ ( t ), t ) = Σ_{p ∈ P} 1/2 m ( p ) ( $\dot{s}$ _p ( t ) ) ² )
5) ∀ t, t ‘ ∈ T ( Σ_{i ≤ h} Q ( i, t ) ⋅ | q_i ( t ) – q_i ( t ‘ ) | = Σ_{p ∈ P} Σ_{i ≤ h} f ( p ,t, i ) ⋅ | s ( p, t ) – s ( p, t ‘ ) | )