Wir legen einen Schnitt durch die Menge X = ( 
) 3 der positiven, reellen Zahlen, wobei folgende Äquivalenzrelation ∼ verwendet wird:
〈 a1, b1, c1 〉 ∼ 〈 a2, b2, c2 〉 gdw ∃ α ∈ ( c1 = α ⋅ ( a12 + b12 ) ∧ c2 = α ⋅ ( a22 + b22 ) ).
a) Beweisen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Die dritte Komponente c ist durch die ersten beiden Komponenten a und b eindeutig bestimmt, so dass diese Beziehung durch eine Funktion f α beschrieben werden kann: f α : ( ) 2 → , c = f α ( a, b ) = α ( a 2 + b 2 ).
b) Zeichnen Sie die Menge X perspektivisch, in dem Sie drei Achsen x, y und z einführen und perspektivisch auf der x–y-Ebene einen Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt eintragen. Zeichnen Sie für die Funktion f 1 ( α = 1 ) drei Argumente: 〈 1, 0 〉, 〈 0, 1 〉 und 〈 ( 1/2 ), β 〉 mit ( 1/2 ) 2 + β 2 = 1, und die zugehörigen Funktionswerte von f 1 ein. Der Abstand zwischen 〈 (1/2), β 〉 und dem Nullpunkt der x–y-Ebene ist hier gerade 1.
c) Bilden Sie drei jeweils kleinere, perspektivisch gezeichnete Kreise und tragen Sie jeweils drei Punkte auf einem Kreis und die Funktionswerte ein. Wenn Sie dies endlos fortsetzen würden, entstünde eine gekrümmte Fläche. Diese Fläche bildet einen durch ∼ erzeugten Schnitt durch X — relativ zur Konstante α = 1.