Theorie des Monoids (MON) – Wissenschaftstheorie

Grundmenge
F Menge von Symbolen

Hilfsbasismenge
$\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen

Relation
E Menge der Elementarsymbole

Funktionen
∗ Konkatenationsfunktion
η Koeffizientenfunktion

Konstanten
Λ Symbol für Leerstelle
n die Anzahl der Elementarsymbole

Definitionen
$\mathbb{N}$ _n = { 1, 2, 3, …, n }
s₁ ∗ … ∗ s_r ist eine Abkürzung für ∗ ( s₁, … ∗ ( s_r_-2, ∗ ( s_r_-1, s_r) ) … )
η ( i, Γ ) = m_i
η ( i, Γ ) e_i ist eine Abkürzung für m_i-malige Anwendung von ∗. Dabei ist η ( i, Γ ) = m_i und η ( i, Γ ) e_i = ∗ ( e_i, …∗ ( e_i, ∗ ( e_i, e_i ) … ) )
$\Sigma^*_{i=1,...,n}$ η ( i, Γ ) e_i ist eine Abkürzung für η ( 1, Γ ) e₁ ∗ … ∗ η ( n, Γ ) e_n
Typisierungen
Θ₁   n ∈ $\mathbb{N}$
Θ₂   ∗ ∈ $\cal FUN$ ( F × F : F )
Θ₃   η ∈ $\cal FUN$ ( $\mathbb{N}$ _n × F : $\mathbb{N}$ )
Θ₄   Λ ∈ F
Θ₅   E ∈ ℘ ( F )

Hypothesen
H₁0 < n
H₂  ∃ e₁, …, e_n ⊆ F ( E = { e₁, …, e_n } )
H₃  ∗ ist assoziativ und kommutativ
H₄   ∀ Γ ∈ F ( Γ = $\Sigma^*_{i=1,...,n}$ η ( i, Γ ) e_i )
H₅   ∀ Γ ∈ F ( Γ ∗ Λ = Λ ∗ Γ = Γ )
H₆   ∀ Γ₁, Γ₂ ∈ F ( Γ₁ ≠ Λ ≠ Γ₂ → Γ₂ ≠ Γ₁ ∗ Γ₂ ≠ Γ₁ )

Modelle
x ist ein Monoid gdw es n, Λ und Mengen F, E, ∗, η gibt, so dass gilt:

x = 〈 F, $\mathbb{N}$ , Λ, n, E, ∗, η 〉

und die Relationen, Funktionen und Konstanten haben die Typen Θ₁, …, Θ₅ und die Hypothesen H₁ ( F, $\mathbb{N}$ , Λ, n, E, ∗, η ), …, H₆ ( F, $\mathbb{N}$ , Λ, n, E, ∗, η ) gelten in x.

I(MON) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiel
– System von chemischen Formeln