Theorie der reellen Zahlen (REE)

Grundmenge
R   Menge der reellen Zahlen

Relation
<   «kleiner als» für Zahlen

Funktionen
+   Additionsfunktion
⋅    Multiplikationsfunktion

Konstanten
0   die Zahl «Null»
1   die Zahl «Eins»

Typisierungen
θ₁   < ∈ ℘ ( R × R )
θ₂   + ∈ ( R × R : R )
θ₃   ⋅  ∈ ( R × R : R )
θ₄   0 ∈ R
θ₅   1 ∈ R

Hypothesen
H₁   ∀ a, b, c ∈ R ( a ≠ b → a < b ∨ b < a )
H₂   ∀ a, b ∈ R ( a < b → ¬ ( b < a ) )
H₃   ∀ a, c ∈ R ( a < c → ∃ b ∈ R ( a < b ∧ b < c ) )
H₄   ∀ X ⊆ R ∀ Y ⊆ R ( ∀ a ∈ X ∀ b ∈ Y ( a < b ) → ∃ c ∈ R ( ∀ v ∈ R ∀ w ∈ R ( v ∈ X ∧ w ∈ Y ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c → v < c ∧ c < w ) ) )
H₅   ∀ a, b, c ∈ R ( a + ( b + c ) = ( a + b ) + c )
H₆   ∀ a, b ∈ R ∃ c ∈ R ( a = b + c )
H₇   ∀ a, b, c, e ∈ R ( a + b < c + e → a < b ∨ c < e )
H₈   1 ∈ R
H₉   1 < 1 + 1
H₁₀   〈 R, <, +, ⋅, 0, 1 〉 ist ein Körper
H₁ – H₉ finden sich in: Tarski, A. 1977: Einführung in die mathematische Logik, (5. Aufl.), Göttingen, Vandenhoek & Ruprecht, S. 219 – 227.

Modelle
x ist ein Modell der reellen Zahlen M(REE) gdw es 0, 1 und Mengen R, <, +, ⋅ gibt, so dass gilt:

x = 〈 R, <, +, ⋅, 0, 1 〉

und die Relationen, Funktionen und Konstanten haben die Typen θ₁, …, θ₅ und die Hypothesen H₁ ( R, <, +, ⋅, 0, 1 ) und … und H₁₀ ( R, <, +, ⋅, 0, 1 ) gelten in x.

I(REE) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiel
– «die» Menge der reellen Zahlen

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