Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder (GMS)

Grundmengen
P Menge von materiellen Objekten
T Menge der Zeitpunkte

Hilfsbasismengen
$\mathbb{N}$ die Menge der natürlichen Zahlen
$\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen

Relationen
s Ortsfunktion
m Massefunktion
f Kraftfunktion

Konstanten
k Federkonstante
p₁, p₂, p₃ die einzelnen materiellen Objekte

Definition
$\mathbb{R}$ ³ die Menge der 3-dimensionalen, reellen Vektoren

Typisierungen
θ₁   s ∈ $\cal FUN$ ( P × T : $\mathbb{R}$ ³ )
θ₂   m ∈ $\cal FUN$ ( P : $\mathbb{R}$ ³ )
θ₃   f ∈ $\cal FUN$ ( P × T × $\mathbb{N}$ : $\mathbb{R}$ ³ )
θ₄   k ∈ $\mathbb{R}$
θ₅   P = { p₁, p₂, p₃ } ∧ p₁ ≠ p₂ ≠ p₃

Definitionen
$\dot{s}(p,t)$ bedeutet «die erste Ableitung der Funktion s im zweiten Argument t»
$\ddot{s}(p,t)$ bedeutet «die zweite Ableitung der Funktion s im zweiten Argument t»
∗ ist die skalare Multiplikation, d.h. wenn u eine reelle Zahl und z ein 3-dimensionaler, reeller Vektor ist, dann ist u ∗ z die skalare Multiplikation von u und z

Hypothesen
H₁ T ⊆ $\mathbb{R}$ und T ist ein offenes Intervall
H₂   ∀ p ∈ P ( m ( p ) > 0 )
H₃   ∀ i, j ∈ { 1, 2, 3 } ∀ t, t ‘ ∈ T ( s ( p_i, t ) – s ( p_j, t ) = s ( p_i, t ‘ ) – s ( p_j, t ‘ ) )
H₄   ∃ δ ∈ $\mathbb{R}$ ³ ∀ t ∈ T ( $\ddot{s}(p_1,t)$ = δ )
H₅   ∀ t ∈ T ∀ i ∈ $\mathbb{N}$ ( f ( p₁, t, i ) = f ( p₃, t, i ) = 0 )
H₆   ∀ α ∈ $\mathbb{R}$ ( f ( p₂, t, i ) = – k ∗ ( $\dot{s}(p_2,t)$ – $\dot{s}(p_2,t)$ ) )
H₇   ∃ β ∈ $\mathbb{R}$ ∀ t ∈ T ( f ( p₂, t, i ) ) = β ∗ ( $\dot{s}(p_2,\alpha)$ ) – $\dot{s}(p_1,t)$ ) )
H₈   ∀ t ∈ T ( f ( p₂, t, 1 ) = – f ( p₂, t, 2 ) )
H₉   ∀ i ∈ $\mathbb{N}$ ∀ t ∈ T ( i > 2 → f ( p₂, t, i ) = 0 )

Messmodelle
x ist ein Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder M(GMS) gdw es Mengen P, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ ³, s, m, f und Konstanten k, p₁, p₂, p₃ gibt, so dass gilt:

x = 〈 P, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ ³, s, m, f, k, p₁, p₂, p₃ 〉

und die Relationen und Konstanten s, m, f, k, p₁, p₂, p₃ haben die Typen θ₁, …, θ₅ und die Hypothesen H₁ ( P, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ ³, s, m, f, k, p₁, p₂, p₃ ) und … und H₉ ( P, T, $\mathbb{N}$ , $\mathbb{R}$ ³, s, m, f, k, p₁, p₂, p₃ ) gelten in x.

I(GMS) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Systeme, bei denen Objekt p₁ die Erde, p₂ ein fest aufgehängtes Objekt und k die Konstante der Sprungfeder ist.