Grundmengen
P eine Menge von geometrischen Punkten
L eine Menge von Linien
E eine Menge von Ebenen
Relationen
zw Zwischenrelation
kon Kongruenzrelation
Typisierungen
θ1 zw ∈ ℘ ( P × P )
θ2 kon ∈ ℘ ( P × P × P × P )
Definitionen
kollinear ( a, b, c ) gdw ∃ l ∈ L ( a ∈ l ∧ b ∈ l ∧ c ∈ l ‘ )
nicht-kollinear ( a, b, c ) gdw ¬ ∃ l ∈ L ( a ∈ l ∧ b ∈ l ∧ c ∈ l )
a, b, c ∈ x gdw a ∈ x ∧ b ∈ x ∧ c ∈ x
ZW ( a, l, b ) gdw ¬ ( a ∈ l ∧ b ∈ l ∧ ∃ c ∈ l ( zw ( a, c, b ) ) )
Hypothesen
H1 ∀ l, l ‘ ∈ L ∃ a, b ∈ P ( a ≠ b ∧ a ∈ l ∧ b ∈ l )
H2 ∀ a, b ∈ P ∃ l ∈ L ( a ∈ l ∧ b ∈ l )
H3 ∀ a, b ∈ P ( a ≠ b → ∃ l ∈ L ( a ∈ l ∧ b ∈ l ∧ ∀ l ‘ ∈ L ( a ∈ l ‘ ∧ b ∈ l ‘ → l = l ‘ ) )
H4 ∀ e ∈ E ∃ a, b, c ∈ P ( nicht-kollinear ( a, b, c ) ∧ a ∈ e ∧ b ∈ e ∧ c ∈ e )
H5 ∀ a, b, c ∈ P ∃ e ∈ E ( a, b, c ∈ e ∧ ∀ e ‘ ∈ P ( a, b, c ∈ e ‘ → e = e ‘ ) )
H6 ∀ a, b, c ∈ P ( nicht-kollinear ( a, b, c ) → ∃ e ∈ E ( a, b, c ∈ e ∧ ∀ e ‘ ∈ E ( a, b, c ∈ e ‘ → e = e ‘ ) ) )
H7 ∀ l ∈ L ∀ e ∈ E ( ∃ a, b ∈ P ( a, b ∈ l ∧ a, b ∈ e ) → l ⊆ e )
H8 ∀ e, e ‘ ∈ E ( ∃ a, b ∈ P ( a ∈ e ∧ a ∈ e ‘ ) → ∃ b ∈ P ( a ≠ b ∧ b ∈ e ∧ b ∈ e ‘ ) )
H9 ∃ a, b, c, d ∈ P ( a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ a ≠ d ∧ b ≠ c ∧ b ≠ d ∧ c ≠ d )
H10 ∀ a, b, c ∈ P ( zw ( a, b, c ) → ∃ l ∈ L ( a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ a, b, c ∈ l ) )
H11 ∀ a, b, c ∈ P ( zw ( a, b, c ) → ¬ zw ( c, b, a ) )
H12 ∀ a, b, c ∈ P ( zw ( a, b, c ) → ¬ zw ( b, a, c ) )
H13 ∀ a, b, c ∈ P ( kollinear ( a, b, c ) ∧ disjunkt ( a, b, c ) → zw ( a, b, c ) ∨ zw ( b, c, a ) ∨ zw ( c, a, b ) )
H14 ∀ a, b ∈ P ( a ≠ b → ∃ c ∈ P ( zw ( a, b, c ) ) )
H15 ∀ a, b ∈ P ( a ≠ b → ∃ c ∈ P ( zw ( a, c, b ) ) )
H16 ∀ a, b, c, d ∈ P ( zw ( a, b, c ) ∧ zw ( b, c, d ) → zw ( a, d, b ) )
H17 ∀ a, b, c, d ∈ P ( zw ( a, b, d ) ∧ zw ( b, c, d ) → zw ( a, b, c ) )
H18 ∀ e ∈ E ∀ a, b, c ∈ P ∀ l ∈ L ( kollinear ( a, b, c ) ∧ ( ZW ( a, l, b ) ∧ c ∉ l → ZW ( b, l, c ) ∨ ZW ( a, l, c ) ) )
H19 ∀ a, b, c ∈ P ( kon ( a, a, b, c ) → b = c ) )
H20 ∀ a, b ∈ P ( kon ( a, b, b, a ) )
H21 ∀ a, b, c1, d1, c2, d2 ∈ P ( kon ( a, b, c1, d1 ) ∧ kon ( a, b, c2, d2 ) → kon ( c1, d1, c2, d2 ) )
H22 ∀ X, Y ∈ ℘ ( P ) ( X ≠ 
∧ Y ≠ → ∃ a ∈ P ∀ b, c ∈ P ( b ∈ X ∧ c ∈ Y → zw ( b, a, c ) → ∃ d ∈ P ∀ a1 ∈ P ∀ b1 ∈ P ( a1 ∈ X \ { d } ∧ b1 ∈ Y \ { d } → zw ( a1, d, b1 ) ) )
H23 ∀ e ∈ E ∀ l ∈ L ∀ a ∈ P \ l ∃ l ‘ ∈ L ( a ∈ l ‘ ∧ l ∩ l ‘ = )
Modelle
x ist ein Modell der Geometrie M(GEO) gdw es Mengen P, zw, kon gibt, so dass gilt:
x = 〈 P, zw, kon 〉
und die Relationen zw, kon haben die Typen θ1 und θ2 und die Hypothesen H1 ( P, zw, kon ), …, H23 ( P, zw, kon ) gelten in x.
I(GEO) ist die Menge der intendierten Systeme.
Beispiele
– Ackerflächen in Ägypten, zu verschiedenen Perioden
– Ackerflächen in Mesopotamien, zu verschiedenen Perioden
– Regionen, die durch Landvermessung kartographiert sind
– Erdoberfläche des Planeten Erde
– Mondoberfläche
– der Raum «unseres» Sonnensystems.