Lagrange Mechanik (LAG)

Grundmengen
H   Menge von Dimensionen
T   Menge von Zeitpunkten

Hilfsbasismengen
\mathbb{N}   die Menge der natürlichen Zahlen
\mathbb{R}    die Menge der reellen Zahlen

Funktionen
q   generalisierte Koordinatenfunktion
K   kinetische Energiefunktion
Q   generalisierte Kraftfunktion

Konstante
h   Anzahl der Dimensionen

Definitionen
\mathbb{N}h ist die Menge der natürlichen Zahlen { 1, …, h }
Für i ≤ h wird qi\mathbb{R} → \mathbb{R} wie folgt definiert: qi ( t ) = q ( i, t )
q ( t ) ist eine Abkürzung für 〈 q1 ( t ), …, qh ( t ) 〉
\dot{q} ( t ) = 〈 Dq1 ( t ), …, Dqh ( t ) 〉

Typisierungen
θ1   h ∈ \mathbb{N}
θ2   q ∈ \cal FUN\mathbb{N}h × T : \mathbb{R} )
θ3   K ∈  \cal FUN ( \mathbb{R} 2h × T : \mathbb{R} )
θ4   Q ∈  \cal FUN\mathbb{N}h × T : \mathbb{R} )

Hypothesen
H1   0 < h
H2   T =\mathbb{R}
H3   ∀ t ∈ \mathbb{R} ∀ i ≤ h ( DDh+i K ( q ( t ), \dot{q} ( t ), t ) – Di K ( q ( t ), \dot{q} ( t ), t ) = Q ( i, t ) )

Modelle
x ist ein Modell der Lagrange Mechanik M(LAG) gdw es h und Mengen H, q, K, Q gibt, so dass gilt:

x = 〈 H, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, h, q, K, Q

und die Funktionen und Konstanten haben die Typen θ1, …, θ4 und die Hypothesen H1H, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, h, q, K, Q ), …, H3H, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, h, q, K, Q ) gelten in x.

I(LAG), ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Würfe an der Erdoberfläche
– Fallphänomene an der Erdoberfläche
– Planetensysteme

Verknüpfung
Definitionen
sp : T\mathbb{R} 3 ist definiert durch sp ( t ) = s ( p, t ).
In ähnlicher Weise: Xp ( q ( t ), \dot{q} ( t ), t ) = X ( p, q ( t ), \dot{q} ( t ), t )
\dot{s}p ist die Ableitung von sp

V(LAG,KPM) ist eine Verknüpfung von generalisierten und kartesischen Koordinaten
ver = 〈 x, y, X 〉 ist eine Verknüpfung von M(LAG) und M(KPM) gdw

1) 〈 P, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, s, m, f 〉 ∈ M(KPM) ∧ 〈 H, T ‘, \mathbb{N}, \mathbb{R}, q, h, K, Q 〉 ∈ M(LAG)
2) T ⊆ T
3) ∃ X : P × \mathbb{R} h × T → \mathbb{R} 3 (für alle t ∈ T und alle p ∈ P ( X ( p, q ( 1, t ), …, q ( h, t ), t ) = s ( p, t ) ∧ Xp ist stetig differenzierbar)
4) ∀ t ∈ T ( K ( q ( t ), \dot{q} ( t ), t ) = Σp ∈ P 1/2 m ( p ) ( \dot{s}p ( t ) ) 2 )
5) ∀ t, t ‘ ∈ T ( Σi ≤ h Q ( i, t ) ⋅ | qi ( t ) – qi ( t ‘ ) | = Σp ∈ P Σi ≤ h f ( p ,t, i ) ⋅ | s ( p, t ) – s ( p, t ‘ ) | )