Relativistische Stoßmechanik (RSM)

Grundmengen
P Menge von materiellen Objekten
T Menge von Zeitpunkten

Hilfsbasismengen
$\mathbb{R}$ die Menge der reellen Zahlen

Relationen
e Existenzfunktion
v Geschwindigkeitsfunktion
m Massefunktion

Konstanten
¬ ex «existiert nicht»
ex «existiert»

Definitionen
$\mathbb{R}$ ³ ist die Menge der 3-dimensionalen, reellen Vektoren
Σ_{p ∈ P} X ( p ) ist eine Abkürzung für P = [ p₁, …, p_n ] und X ( p₁ ) + … + X ( p_n )
| X | ist der Betrag des 3-dimensionalen, reellen Vektors X
wenn u, v reelle Zahlen sind, dann ist u ⋅ v die («normale») Multiplikation von u und v
wenn u eine reelle Zahl und z ein 3-dimensonaler, reeller Vektor z ist, dann ist u • z die skalare Multiplikation von u und z.

Typisierungen
θ₁   e ∈ $\cal FUN$ ( P × T : { 0, 1 } )
θ₂   v ∈ $\cal FUN$ ( P × T : $\mathbb{R}$ ³ )
θ₃   m ∈ $\cal FUN$ ( P × $\mathbb{R}$ : $\mathbb{R}$ )
θ₄   ¬ ex ∈ $\mathbb{R}$
θ₅   ex ∈ $\mathbb{R}$

Hypothesen
H₁   T ⊂ $\mathbb{R}$ ∧ T = { t₁, t₂ } ∧ t₁ < t₂
H₂   ex = 1 ∧ ¬ ex = 0
H₃   ∀ p ∈ P ∀ α ∈ $\mathbb{R}$ ( m ( p, α) ≥ 0 )
H₄   ∀ t, t ‘ ∈ T ( Σ_{p ∈ P} e ( p, t ) ⋅ m ( p, | v ( p, t ) |) • v ( p, t ) = Σ_{p ∈ P} e ( p, t ‘ ) ⋅ m ( p, | v ( p, t’ ) |) • v ( p, t ‘ )

Modelle
x ist ein Modell der relativistischen Stoßmechanik M(RSM) gdw es Mengen P, T, { ex, ¬ ex }, e, v, m, gibt, so dass gilt:

x = 〈 P, T, $\mathbb{R}$ ³, { ex, ¬ ex }, e, v, m 〉

und die Relationen und Konstanten haben die Typen θ₁, …, θ₅ und die Hypothesen H₁ ( P, T, $\mathbb{R}$ ³, { ex, ¬ ex }, e, v, m ), …, H₄ ( P, T, $\mathbb{R}$ ³, { ex, ¬ ex }, e, v, m ) gelten in x.

I(RSM) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Stöße im Atombereich
– Stöße im Universum

Querverbindungen

Definitionen
Seien x = 〈 P ^x, …, v ^x, m ^x 〉 ∈ M(RSM) und γ ∈ $\mathbb{R}$ ⁺ gegeben.
$m^r_x$ : P → $\mathbb{R}$ ⁺, die Restmasse von m ^x, ist definiert durch: ∀ p ∈ P ∀ α ∈ $\mathbb{R}$ ( $m^r_x$ ( p ) = m ^x( p, α ) ⋅ ( 1 – γ ²/α ²) ^1/2 )
P = ∪ { P ^x / x ∈ M(RSM) ∧ x = 〈 P ^x, …, m^x 〉 ∧ ∀ p ∈ P ^x ( $m^r_x$ ( p ) ≠ 0 ) }

Q₁(RSM) Erhaltung der Restmasse einer Masse
w ist die Erhaltung einer Masse, kurz: w ∈ Q₁(RSM), gdw wenn es x, P ^x, …, v ^x, m ^x, y, P ^y, …, v ^y, m ^y, p gibt, so dass gilt:

x = 〈 P ^x, …, v ^x, m ^x 〉 ∈ M(RSM),
y = 〈 P ^y, …, v ^y, m ^y 〉 ∈ M(RSM),
p ∈ P ^x ∩ P ^y und $m^r_x$ ( p ) = $m^r_y$ ( p ) ≠ 0 und
w = 〈 x, y, 〈 m ^x, $m^r_x$ , m^y, $m^r_y$ , p 〉 〉

Q₂(RSM) Konkatenation der Restmasse einer Masse
w ist die Konkatenation der Restmasse, kurz: w ∈ Q₂(RSM), gdw es x, P ^x, …, v ^x, m ^x, y, P ^y, …, v ^y, m ^y, z, P ^z, …, v ^z, m ^z, p ^x, p ^y, p ^z und eine Konkatenationsfunktion $\circ$ gibt, so dass gilt:

x = 〈 P ^x, …, v ^x, m ^x 〉 ∈ M(RSM),
y = 〈 P ^y, …, v ^y, m ^y 〉 ∈ M(RSM),
z = 〈 P ^z, …, v ^z, m ^z 〉 ∈ M(RSM),
p ^x ∈ P ^x ∧ p ^y ∈ P ^y ∧ p ^z ∈ P ^z,
$\circ$ : P ^x × P ^x → P ^z,
$\circ$ ( p ^x, p ^y ) = p ^z und $m^r_x$ ( p ) ≠ 0 ≠ $m^r_y$ ( p ) und
$m^r_z$ ( p ^z ) = $m^r_x$ ( p ^x ) + $m^r_y$ ( p ^y ) und
w = 〈 x, y, 〈 m ^x, $m^r_x$ , m ^y, $m^r_y$ , m ^z, $m^r_z$ , p^x, p^y, p^z 〉 〉