Ü2-2: Mengen, Elemente, Paare und kartesische Produkte

Eine Menge ist eine Gesamtheit von Elementen. Eine Menge kann endlich viele oder unendlich viele Elemente besitzen. Eine Menge kann auch leer sein; in diesem Fall enthält sie gar kein Element. Die leere Menge wird mit dem Symbol $\emptyset$ bezeichnet.
Die Elemente aus einer Menge werden entweder beschrieben, indem jedes Element einen Namen bekommt. Oder es gibt für die jeweilige Menge eine Eigenschaft, die für alle Elemente der Menge zutrifft.
Eine endliche, durch Namen beschriebene Menge wird so dargestellt:

{ Name₁, …, Name_n },

wobei Name₁, …, Name_n Namen sind.
Zum Beispiel ist { Nordpol, Napoleon, 2 } eine Menge bestehend aus drei Elementen. Nordpol wird hier als Name für den nördlichsten Punkt der Erde verwendet. Napoleon ist der Name für eine historische Gestalt, die fast jeder kennt. 2 ist ein Symbol, welches den Begriff «zwei» ausdrückt. 2 ist eindeutig bestimmt, so dass 2 auch als ein Name verwendet werden kann.

a) Bilden Sie drei endliche Mengen mit Hilfe von echten Namen.

Eine Eigenschaft E trifft auf ein Objekt x zu oder nicht zu. Wenn die Eigenschaft E auf das Objekt x zutrifft, wird dies so abgekürzt: E ( x ).
Eine durch eine Eigenschaft E beschriebene Menge wird meistens so geschrieben:

{ x / E ( x ) }

«die Menge, die genau aus den Elementen x besteht, welche die Eigenschaft E ( x ) haben»

b) Bilden Sie drei Mengen, bei denen ihre Anzahlen unklar bleiben.

In der «reinen» Mengenlehre sind auch alle Elemente aus Mengen wieder Mengen. Dies klingt zunächst merkwürdig und auch der so beschriebene Inhalt ist gewöhnungsbedürftig. In einer in der Literatur nicht oft diskutierten Variante, werden sogenannte Urelemente zugelassen, aus denen alle Mengen aufgebaut sind.
In empirischen Anwendungen werden normalerweise Elemente von Mengen klar unterschieden.

Wir gehen von zwei Mengen aus, die wir mit A und B bezeichnen. Die Elemente aus A nennen wir a oder a₁, a₂, …, a_m und die Elemente aus B nennen wir b oder b₁, b₂, …, b_n.
In Standardnotation schreiben wir:

a ∈ A soll heißen: a ist ein Element der Menge A.
A ⊂ B soll heißen: Menge A ist eine echte Teilmenge von B.
A ⊆ B soll heißen: Menge A ist eine Teilmenge von B.

c) Können Sie den Begriff der Teilmenge durch den Begriff «∈» des Enthaltenseins definieren?

d) Beschreiben Sie in anderen Worten den Unterschied zwischen einer Teilmenge und einer echten Teilmenge. Hinweis: es fehlt in A im ersten Fall ein Element.

Wenn zwei Mengen A und B gegeben sind, wird ein “Paar von Elementen” meistens so geschrieben

〈 a, b 〉 oder [ a, b ],

wobei a ein Element der Menge A und b ein Element der Menge B ist, kurz: a ∈ A und b ∈ B.

e) Verallgemeinern Sie den Begriff des Paares, so dass n Elemente zu einem sogenannten n–Tupel (oder zu einer Liste mit n Komponenten) zusammengefasst werden.

Die Menge aller Paare von Elementen aus A und B lässt sich in zwei Weisen darstellen — je nachdem, ob die Mengen endlich und durch Namen oder durch zwei Eigenschaften E^A und E^B beschrieben werden.
Im ersten Fall besteht die Menge A aus den Elementen a₁, …, a_m: A = { a₁, …, a_m} und die Menge B aus den Elementen b₁, …, b_n: B = { b₁, …, b_n }. Die Menge aller Paare von Elementen aus A und B wird so definiert:

{ 〈 a₁, b₁ 〉, 〈 a₁, b₂ 〉, …, 〈 a₂, b₁ 〉, 〈 a₂, b₂ 〉, …, 〈 a_m, b₁ 〉, …, 〈 a_m, b_n 〉 }.

f) Schreiben Sie alle Paare aus den Mengen { a₁, a₂, a₃ } und { b₁, b₂, b₃, b₄ } in Matrixform explizit hin.

Im zweiten Fall werden die Elemente aus A durch die Eigenschaft E^A und die Elemente aus B durch die Eigenschaft E^B beschrieben: A = { x / E^A( x ) } und B = { y / E^B( y ) }.
Die Menge der Paare hat dann die Form:

{ 〈 x, y 〉 / E ^A( x ) und E ^B( y ) }.

Hier funktionieren die Symbole x und y als Variable. Variable sind Platzhalter für Symbole, die eine Bedeutung haben. Dabei muss ein mehr oder weniger klar umgrenzter Bereich angegeben sein, aus dem die Symbole stammen. In dieser Übung läuft die Variable x über die Elemente aus A und die Variable y über die Elemente aus B.

g) Bilden Sie die Menge E^A der weiblichen Personen und die Menge E^B der männlichen Personen und bilden Sie 4 Paare. Welche Variablen verwenden Sie dabei?

Aus zwei Mengen A und B wird das kartesische Produkt von A und B gebildet. Das kartesische Produkt von A und B ist die Menge aller Paare 〈 x, y 〉, bei denen x ein Element aus A und y ein Element aus B ist. Auch hier sind x und y Variable für Elemente aus den Mengen A und B.
Das kartesische Produkt aus A und B wird abgekürzt durch:

A $\times$ B.

Kartesische Produkte können mehrfach gebildet werden. Aus A und B wird A $\times$ B gebildet. In einem nächsten Schritt wird aus A $\times$ B und der Menge C das kartesische Produkt A $\times$ B $\times$ C gebildet. Und so weiter. Wenn aus n Mengen A₁, …, A_n ein kartesisches Produkt gebildet wurde, wird das kartesische Produkt wie folgt geschrieben.

A₁ $\times$ … $\times$ A_n oder noch kürzer Π_{i ≤ n} A_i.

Auch das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst kann gebildet werden: A $\times$ A. Wenn dies n Mal gemacht wird, wird das kartesische Produkt oft so abgekürzt: A ⁿ.

h) Verwenden Sie die Menge { p₁, p₂, p₃, p₄ } aus vier Partikel und die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen und bilden das kartesische Produkt dieser beiden Mengen. Interpretieren Sie die Paare und das kartesische Produkt.

i) Verwenden Sie die Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen und die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen und bilden das kartesische Produkt der natürlichen und reellen Zahlen.

j) Bilden Sie das dreifache kartesische Produkt der natürlichen Zahlen.