Ein Symbol kann für alles stehen, was in der Schriftsprache — einschließlich logischer, mathematischer und informationstechnischer Texte — verwendet wird. Insbesondere kann ein Symbol ein Wort sein; es kann auch ein Name sein.
Variable sind Platzhalter für Symbole, die eine Bedeutung haben, wobei ein mehr oder weniger klar umgrenzter Bereich angegeben sein muss, aus dem die Symbole und die Bedeutungen stammen.
Der wichtigste Bereich, der in diesem Buch diskutiert wird, ist der Bereich der Mengen selbst. Das heißt, eine Variable kann ein Platzhalter für Symbole für Mengen sein. Mengen werden meistens variabel durch Symbole wie x, y, z, u, v, w, X, Y, Z auch mit Indizes xi, xn, xj, x j, xi j, …, Y1, Y i, Yj, …, beschrieben.
Nehmen wir zum Beispiel als Bereich eine Menge von Namen Name1, …, Namem und als Variable das Symbol x. Wenn im Kontext über eine Person gesprochen wird, kann x für irgendeinen Namen Namei stehen. x ist ein Platzhalter für einer der Namen Name1, …, Namem.
Eine endliche, nicht interpretierte Menge wird wie folgt geschrieben:
{ x1, …, xn }.
Dabei bezeichnen in diesem Kontext die Symbole x1, …, xn Variable. { x1, …, xn } besagt erstens, dass es sich um eine Menge handelt, zweitens dass sie n Entitäten enthält und drittens, dass es sich um einen bestimmten Bereich B von Entitäten (Ereignisse, Dinge, Sachverhalte) handelt. Alle Variable laufen über Entitäten aus diesem Bereich. Z.B. läuft xi über Dinge im Bereich B. Je nach Anwendung wird der Bereich B anders interpretiert.
Alle Variablen, die in { x1, …, xn } zu sehen sind, können durch Namen ersetzt werden. Aus { x1, …, x6 } wird zum Beispiel
{ Name1, Name2, Name3, Name4, Name5, Name6 } oder { Name2, Name1, Name5, Name3, Name4, Name6 }
oder aber auch { Name2, Name2, Name5, Name6, Name4, Name6 } oder { Name1, Name2, Name3 }.
In den beiden letzten Fällen werden mehrere Variable durch denselben Namen ersetzt.
a) Nehmen Sie drei Namen und bilden Sie mit diesen Namen drei Mengen, die jeweils alle drei Namen enthalten.
b) Beweise Sie, dass alle drei Mengen dieselben Elemente enthalten. Hinweis: jedes Element der ersten Menge muss auch in der zweiten liegen, und umgekehrt.
Aus zwei Mengen x und y lässt sich immer deren Durchschnitt bilden. Der Durchschnitt enthält genau diejenigen Elemente, die in beiden Mengen liegen. Der Durchschnitt von x und y wird so geschrieben:
x ∩ y.
Wenn z. B. zwei endliche Mengen { x1, …, xn } und { y1, …, ym } gegeben sind, ist der Durchschnitt von { x1, …, xn } und { y1, …, ym }:
{ x1, …, xn } ∩ { y1, …, ym }.
Welche Elemente in diesen beiden Mengen gleich sind, ist aber in dieser Form nicht ersichtlich.
Dies lässt sich nur erkennen, wenn entweder die Elemente der Mengen durch Namen ersetzt werden oder wenn Eigenschaften der Elemente bekannt sind und verwendet werden.
Mit Namen lässt sich der Durchschnitt genau beschreiben. Zum Beispiel
{ Name1, Name2, Name3, Name4, Name5, Name6 } ∩ { Name7, Name8, Name2, Name9, Name1, Name10, Name11 } = { Name1, Name2 }
Seien Name1, Name2, Name3, Name4, Name5, Name6, Name7, Name8, Name9, Name10, Name12, Name13, Name14, Name15, Name16, Name17, Name18, Name19, Name20, Name21, Name22, Name23, Name25, Name26 Namen für bestimmte Mengen.
c) Nehmen Sie 8 Namen aus dieser Liste, bilden Sie zwei Mengen A und B, die zusammen alle 8 Namen enthalten. Bilden Sie den Durchschnitt beider Mengen. Wie viele Elemente finden Sie in Ihrem Durchschnitt?
d) Enthält der in c) gebildete Durchschnitt A ∩ B dieselben Elemente wie der Durchschnitt B ∩ A?
e) Bilden Sie eine dritte Menge C aus den Liste der Namen und bilden den Durchschnitt von A ∩ B und C.
f) Erhalten Sie, wenn Sie den Durchschnitt in e) in anderer Reihenfolge bilden, denselben Durchschnitt?