Ein Netz lässt sich mengentheoretisch wie folgt beschreiben.
Ein Netz besteht aus drei Mengen:
1) aus einer Menge P von Knoten oder Punkten
2) aus einer Menge L von Linien und
3) aus einer Menge LA von Beziehungen zwischen Punkten und Linien.
Ein Beziehung la aus LA soll ausdrücken, dass Punkt p der eine Endpunkt der Linie l und Punkt p ‘ der andere Endpunkt von l ist.
a) Formulieren Sie die Menge LA als eine 3-stellige Relation R, deren erstes Argument einen Punkt, das zweite Argument eine Linie und das dritte Argument wieder einen Punkt bezeichnen ( LA = R ).
b) Formulieren Sie Hypothesen über diese drei Mengen mit dem Ziel, folgende Sachverhalte nicht zuzulassen.
i) Kein Punkt darf isoliert bleiben, d.h. jeder Punkt muss ein Endpunkt einer Linie sein.
ii) Von jedem Punkt aus muss es einen Weg geben, über den man zu einem anderen Punkt gelangt.
iii) Ein Netz darf nicht aus zwei unabhängigen Teilnetzen bestehen.
c) Beschreiben Sie Ihre Hypothesen mengentheoretisch.
Statt der gerade verwendeten Form, ein Netz mit drei Mengen darzustellen, ist es effektiver, die Menge der Linien zu eliminieren und die Beziehung durch eine 2-stellige Relation auszudrücken. Dabei wird einfach des zweite Argument der Relation R eliminiert.
d) Beschreiben Sie ein Netz durch zwei Mengen
– P (Menge der Punkte) und
– L (Menge von einigen Beziehungen zwischen zwei Punkten).
Ein Netz N soll die Form 〈 P, L 〉 haben.
e) Formulieren Sie Ihre Beschreibung mengentheoretisch. Formulieren Sie insbesondere die Hypothesen neu.
f) Zeichnen Sie ein kleines Netz auf, so dass Ihre Hypothesen gültig sind.
g) Ersetzen Sie in der Menge P die Punkte p durch Theorien der Form 〈 M, I, D 〉 und zeichnen Sie das neue Netz auf.