Eine 2-stellige Relation ∼, deren beide Stellen sich auf eine nicht-leere Menge X beziehen, heißt Äquivalenzrelation auf X gdw folgende Bedingungen erfüllt sind:
1) für alle a ∈ X gilt a ∼ a
2) für alle a, b ∈ X gilt: wenn a ∼ b, dann b ∼ a
3) für alle a, b, c ∈ X: wenn a ∼ b und b ∼ c, dann a ∼ c.
Ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf X und a ∈ X, so heißt die Menge aller b, für die b ∼ a gilt (also: { b / b ∼ a }) die Äquivalenzklasse von a unter ∼ und wird z.B. mit ã bezeichnet.
a) Zeichnen Sie eine Sinuskurve und legen Sie drei horizontale Linien durch den Graphen dieser Funktion. Zeichnen Sie die Punkte ein, in denen die Sinuskurve die jeweiligen Linien schneiden.
b) Formulieren Sie eine Äquivalenzrelation ∼. Zwei Punkte sollen äquivalent sein, wenn sie auf der gleichen Linie liegen und die Sinuskurve schneiden. Bilden Sie drei Äquivalenzklassen.
c) Beweise Sie sowohl anschaulich als auch formal, dass die drei Äquivalenzklassen disjunkt sind. Wie viele Punkte liegen in einer dieser Äquivalenzklassen?