Eine Funktion f ist ein Prozess, durch den Objekte aus einer ersten Menge G in Objekte einer zweiten Menge W abgebildet werden. Mengentheoretisch lässt sich eine Funktion f durch drei Mengen darstellen, nämlich f, G und W. G wird als der Argumentbereich (der Funktion f), W als der Wertebereich (der Funktion f) bezeichnet und f als die Funktion. Ein Element aus f hat die Form eines Paares 〈 a, w 〉, wobei a ein Argument (der Funktion f) ist und w der “dazugehörige” Wert (der Funktion f an der Stelle a). f selbst wird ebenfalls als eine Menge konzipiert. f ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts G × W. Dies wird meistens abgekürzt so formuliert:
f : G → W und f ( a ) = w,
oder rein mengentheoretisch geschrieben:
f ⊆ G × W, 〈 a, w 〉 ∈ f.
Bei einer Funktion f müssen immer die zwei in Ü2-10 formulierten Bedingungen (F1) und (F2) erfüllt sind.
Eine Funktion f hat eine speziellere Form, wenn die Argumente sogenannte n–Tupel bilden. In diesem Fall gibt es eine natürliche Zahl n ( n > 1 ), so dass alle Argumente a aus dem Argumentbereich G der Funktion f die Form 〈 a1, …, an 〉 haben:
a ∈ G, a = 〈 a1, …, an 〉, G = G1 × … × Gn.
Die Funktion f lässt sich in solchen Fällen kurz wie folgt schreiben:
f : G1 × … × Gn → W und f ( 〈 a1, …, an 〉 ) = w
oder rein mengentheoretisch formuliert:
f ⊆ ( G1 × … × Gn ) × W und 〈 〈 a1, …, an 〉, w 〉 ∈ f.
Oft werden in f ( 〈 a1, …, an 〉 ) die spitzen Klammern aus Lesbarkeitsgründen weggelassen, es wird also so geschrieben: f ( a1, …, an ).
Genauso können die Werte einer Funktion f spezieller gefasst werden. Aus einem Wert w wird ein m-Tupel 〈 w1, …, wm 〉
w ∈ W, w = 〈 w1, …, wm 〉 und W = W1 × … × Wm.
f : G → W1 × … × Wm und f ( a ) = 〈 w1, …, wm 〉
oder rein mengentheoretisch geschrieben:
f ⊆ G × ( W1 × … × Wm ) und 〈 a, 〈 w1, …, wm 〉 〉 ∈ f.
Auch beide Spezialfälle können gleichzeitig verwendet werden:
f : ( G1 × … × Gn) → ( W1 × … × Wm ),
f ( 〈 a1, …, an 〉) = 〈 w1, …, wm 〉
oder rein mengentheoretisch formuliert:
f ⊆ ( G1 × … × Gn) × ( W1 × … × Wm ),
〈 〈 a1, …, an 〉, 〈 w1, …, wm 〉 〉 ∈ f.
Oft wird dies auch so geschrieben: f ( a1, …, an ) = 〈 w1, …, wm 〉 oder f ( a1, …, an ) = ( w1, …, wm ).
a) Zeichnen Sie eine Funktion f, indem Sie die Menge G und die Menge W durch zwei gerade Strecken darstellen, die parallel zueinander liegen. Zeichnen Sie drei Argumente als Punkte in die Strecke für G ein und zeichnen Sie für jeden dieser Punkte einen Pfeil, der zu einem Objekt aus W führt.
b) Prüfen Sie, ob in a) die Eindeutigkeitsbedingung (F1) erfüllt ist. Zeichnen Sie einen weiteren Pfeil in a) ein, so dass Bedingung (F1) nicht mehr stimmt.
Eine Funktion f heißt injektiv genau dann wenn ausgeschlossen wird, dass zwei verschiedene Argumente zum selben Wert führen. D.h. f ( a ) = w und f ( b ) = w und a ≠ b wird ausgeschlossen.
Eine Funktion f heißt surjektiv genau dann wenn jedes Element w aus der Menge W auch ein Wert der Funktion f ist. D.h.: für jedes w ∈ W gibt es ein Argument a ∈ G, so dass f ( a ) = w.
Eine Funktion f heißt bijektiv genau dann wenn die Funktion f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Die Menge aller Elemente der Funktion f, d.h. die Menge aller Paare 〈 a, w 〉 mit a ∈ G, w ∈ W und 〈 a, w 〉 ∈ f, wird als der Graph der Funktion f bezeichnet.
c) Zeichnen Sie in dieses Bild zwei orthogonale x– und y-Achsen und eine nicht gerade Linie ein. Prüfen Sie, ob die Bedingungen (F1) und (F2) erfüllt sind. Wenn dies nicht der Fall ist, zeichnen Sie eine andere Linie ein, die beide Bedingungen erfüllt.
d) Interpretieren Sie die Linie in c) als einen Graphen einer Funktion. Tragen Sie auf der Linie einen Punkt ein und zeichnen Sie die beiden dazugehörigen Koordinaten des Punktes ein.
e) Stellen Sie graphisch sechs Funktionen dar. Eine injektive Funktion, eine nicht injektive, eine surjektive, eine nicht surjektive, eine bijektive und eine nicht bijektive Funktion.
f) Zeichnen Sie eine Funktion, deren Argumentbereich G zweidimensional ist. (Hinweis: G lässt sich z.B. durch eine Raute darstellen und der Wertebereich W durch eine vertikale Linie.) Zeichnen Sie zwei Elemente aus dem Argumentbereich durch Punkte ein. Wo lokalisieren Sie die zwei zugehörigen Werte?
g) Zeichnen Sie eine Funktion, deren Wertebereich W zweidimensional ist.