Wir beobachten fünf Objekte, die nicht immer zu jedem Zeitpunkt zu sehen sind. In den Zeitpunkten, in denen zwei Objekte wahrgenommen werden, wird der Abstand beider Objekte bestimmt. Dies wird bei vielen Objektpaaren gemacht.
Wir haben als Resultat eine Liste von Abständen der Art
d ( a1, a2 ) = 1, d ( a1, a3 ) = 2, d ( a1, a4 ) = 3, d ( a1, a5 ) = 2,
d ( a1, a6 ) = 3, d ( a1, a7 ) = 3, d ( a1, a8 ) = 3, d ( a1, a9 ) = 2,
d ( a1, a10 ) = 3, d ( a1, a11 ) = 1, d ( a1, a12 ) = 2.
Wir sehen, dass die Objekte a2, …, a12 irgendwie um das Objekt a1 kreisen.
a) Bilden Sie aus der Menge der Objekte drei Äquivalenzklassen so, dass zwei Objekte ai, aj, mit demselben Abstand in derselben Äquivalenzklasse liegen.
b) Stellen Sie die Größe der Äquivalenzklassen fest.
c) Nehmen Sie die größte Äquivalenzklasse. Die Anzahl der Objekt in dieser Äquivalenzklasse nennen Sie n. Bilden Sie eine neue Menge T von Zeitpunkten, die gerade n Elemente t1, …, tn enthält.
d) Zeichnen Sie einen 2-dimensionalen Raum mit x und y-Achse und tragen Sie die n Zeitpunkte auf der x-Achse ein. Zeichnen Sie die Abstände der Objekte aus der größten Äquivalenzklasse auf der y-Achse ein.
e) Interpretieren Sie Ihre Abbildung als eine Funktion, die zu den verschiedenen Zeitpunkten denselben Ort hat.
f) Geben Sie den Objekten aus der ersten Äquivalenzklasse einen neuen Namen: P1. Wiederholen Sie dies für alle weiteren Äquivalenzklassen.
g) Formulieren Sie die so gefundene Abstandfunktion d *.
d * ( t, Name ) = α
besagt, dass zum Zeitpunkt t das Objekt mit Namen Name den Abstand α zu a1 hat.