In der Geometrie kann ein Kreis explizit durch andere geometrische Grundbegriffe definiert werden. Dazu brauchen wir folgende Begriffe: die Menge P der Punkte, die Menge E der Ebenen, die Menge 
der reellen Zahlen und die Abstandsfunktion d : P × P → . d ( a, b ) = α besagt, dass der Abstand zwischen den Punkten a und b die Zahl α ist.
Die geometrischen Hypothesen, die die Abstandsfunktion d und die Ebenen aus E betreffen, werden wir hier nicht weiter diskutieren.
Definition:
K ist ein Kreis gdw folgendes gilt:
1) K ist eine Menge von Punkten, kurz: K ⊂ P
2) es gibt eine Ebene e aus E, so dass K auch in E liegt, kurz: K ⊂ e
3) es gibt einen Punkt a0 aus der Ebene e ( a0 ∈ e ) und eine positive, reelle Zahl α, so dass folgendes gilt: für alle b ∈ e gilt: b ∈ K gdw d ( a0, b ) = α.
a) Diese Definition ist etwas unbeholfen formuliert. Verbessern Sie die Definition.
b) Stellen Sie einen Kreis, den Punkt a0, die Zahl α und einen Abstand graphisch dar. Interpretieren Sie diese Objekte inhaltlich.
c) Die hier formulierte Definition enthält einen Fehler. Finden Sie ihn, indem Sie die Menge K so zeichnen, dass sie keinen Kreis ergibt.