Gibt es Fakten für formale Theorien? Die Antwort hängt davon ab, was eine formale Theorie im Gegensatz zu einer empirischen Theorie ist.
Im Buch werden Faktensammlungen mit wirklichen, intendierten Systemen der Theorie verbunden. Wenn die Grundmengen in den Modellen der Theorie auch konkrete, lebensweltlich wirklich vorhandene Entitäten enthalten können, nennen wir die Theorie empirisch. Wenn dagegen alle Entitäten in einer Faktensammlung Mengen sind, sprechen wir von einer formalen Theorie.
Zum Beispiel sind die Elemente in den Modellen der natürlichen Zahlen die Zahlen 0, 1, 2, 3, …. Die Zahl 1 z.B. ist dabei die Menge, deren Elemente einelementige Mengen enthält. Wie die Elemente in einer solchen einelementigen Menge genauer aussehen, wird in der formalen Theorie der natürlichen Zahlen nicht weiter erörtert.
a) Bilden Sie 7 völlig verschiedene einelementige Mengen. Bilden Sie die offene — d.h. nicht genau beschriebene — Mengen der Form
{ { a1 }, { a2 }, { a3 }, { a4 }, { a5 }, { a6 }, { a7 }, { a8 }, … }.
Enthält diese Menge Ihre vorher beschriebenen einelementigen Mengen? Ist diese Menge endlich oder unendlich?
b) Stellen Sie die in a) diskutierte Menge durch das Symbol «1» dar. Verfahren Sie auf ähnliche Weise mit dem Symbol «2» . (Hinweis: Bilden Sie eine Menge von Mengen, die genau zwei Elemente enthalten.)
c) Beschreiben Sie Fakten für die Theorie der natürlichen Zahlen in informeller Weise. (Hinweis: Jede Zahl 1, 2, 3, … ist ein Faktum. Die Beziehung «der nächste Schritt zur nächsten Zahl» enthält weitere Fakten.)
d) Versuchen Sie das Symbol «0» als ein Faktum für die Theorie der natürlichen Zahlen zu fassen.