Wir betrachten die Theorie T der Tauschwirtschaft und die Modellmenge M. Ein Modell x hat die Form
x = 〈 H, W, 
, 
, g, p, U, E 〉.
H ist eine Menge von Personen, die tauschen, W eine Menge von Warenarten, g eine «Güterbündelfunktion» , g ( h, w ) ∈ 
ist die Quantität der Ware der Art w, die Person h besitzt, g : H × W → . U ist die Nutzenfunktion; U ( h, α1, …, αm ) = β besagt, dass Person h, welche das Güterbündel α1, …, αm besitzt, den Nutzen β aus diesem Güterbündel zieht. p ist die Preisfunktion; p ( w ) = γ besagt, dass eine Einheit der Warenart w den Preis γ hat.
B [ H, W, g ] ist die «Tauschbegrenzung» , d.h. eine Menge von Güterbündelfunktionen g *, die zwei Bedingungen erfüllt. 1) für jede Warenart w ist die Gesamtsumme der Warenart nicht größer als die Gesamtsumme, die in der Güterbündelfunktion g von x zu finden ist. D.h. es werden veränderte Güterbündelfunktionen nur in Betracht gezogen, wenn dies zu keinen zusätzlichen «neuen» Quantitäten («Produkten») führt. 2) Für jede Person bleibt der Wert eines möglicherweise in Betracht kommenden Güterbündels gleich — im Vergleich zum Wert der im Modell existierenden Güterbündelfunktion g.
B [ H, W, g ] = { g * / g * : H × W → ∧ ∀ w ∈ W ( Σh ∈ H g * ( h, w ) ≤ Σh ∈ H g ( h, w ) ) ∧ ∀ h ∈ H ( Σw ∈ W ( p ( w ) ⋅ ( g * ( h, w ) – g ( h, w ) ) = 0 ) }.
Das Modell x wird durch drei Hypothesen charakterisiert:
| H1 | E ⊆ B [ H, W, g ] |
| H2 | ∀ g * ( g * ∈ E → ∀ h ∈ H ∀ g * ∈ B [ H, W, g ] ( U ( h, g * ( h, 1 ), …, g * ( h, n ) ) ≤ U ( h, g ( h, 1 ), …, g ( h, m ) ) ) |
| H3 | E ≠  . |
Als zweite Theorie T ‘ verwenden wir die Theorie der Tauschwirtschaft mit Markträumung.
Ein Modell x ‘ hat dieselbe Form wie ein Modell x ∈ M:
x ‘ = 〈 H, W, , , g, p, U, E 〉.
Zusätzlich wird Hypothese H4 hinzugefügt.
∀ w ∈ W ∀ g ‘ ∈ E ( Σ { h / h ∈ H } g ‘ ( h, w ) = Σ { h / h ∈ H } g ( h, w ) ).
a) Beweisen Sie informell, dass x ‘ auch ein Modell von T ist.