Ü17-3: Schnitte durch die Netzgeschichte hist

Wir betrachten eine Relation h: h ⊂ Z × \cal M × \cal D. Z ist eine Menge von Zeitpunkten, \cal M eine Menge von Modellmengen und \cal D ist eine Menge von Mengen von Faktensammlungen.

a) Zeichnen Sie die Relation h 3-dimensional, perspektivisch mit drei Achsen auf. Auf der z-Achse tragen Sie die Menge Z, auf der x-Achse die Menge \cal M der Modellmengen und auf der y-Achse die Menge \cal D ein. Zeichnen Sie 6 Tripel 〈 zi, Mi, Di 〉, 1 ≤ 6, im Koordinatensystem
ein; zi ∈ ZMi ∈ \cal MDi ∈ \cal D. Dabei sollen folgende Identitäten und Ungleichheiten gelten:

z2 = z1, M2 ≠ M1, D2 = D1,
z3 = z1 + 1, M3 = M1D3 = D1,
z4 = z3M4 = M2D2 ≠ D4D3,
z5 = z3 + 1, M5 = M3D5D3,
z6 = z5M6M4D6 = D4.

b) Definieren Sie die Äquivalenzrelation ∼ Z durch

h ( z, M, D ) ∼ Z h ( z ‘, M ‘, D ‘ ) gdw z = z ‘.

Beweisen Sie dass ∼ Z eine Äquivalenzrelation ist. Zeichnen Sie perspektivisch drei Ebenen E1, E3, E5 ein. Punkt z1 liegt in Ebene E1, Punkt z3 liegt in Ebene E3 und Punkt z5 liegt in Ebene E5. Zeichnen Sie Linien von 〈 z1, M1D1 〉 zu 〈 z3, M3D3 〉, von 〈 z2, M2D2 〉 zu 〈 z4, M4D4 〉, von 〈 z3, M3D3 〉 zu 〈 z5, M5D5 〉 und
von 〈 z4, M4D4 〉 zu 〈 z6, M6D6 〉. Interpretieren Sie diese Linien als Prozesse der Veränderung von Modellmengen und Mengen von Faktensammlungen.

c) Definieren Sie die Äquivalenzrelation ∼ M durch

h ( z, M, D ) ∼ M h ( z ‘, M ‘, D ‘) gdw M = M ‘.

Zeichnen Sie wie in a) die Achsen, Ebenen und Punkte, wobei folgende Identitäten und Ungleichheiten gelten sollen.

z2 = z1M2M1D2D1,
z3 = z1 + 1, M3 = M1D3D1,
z4 = z3M4 = M2D2 ≠ D4D3,
z5 = z3 + 1, M5 = M3D5D3,
z6 = z5M6 = M4D6D4.

Beschreiben Sie die Äquivalenzklasse für ∼ M relativ zu 〈 z1, M1, D1 〉. Zeichnen Sie Linien von 〈 z1, M1, D1 〉 zu 〈 z3, M3, D3 〉 und von 〈 z3, M3, D3 〉 zu 〈 z5, M5, D5 〉. Interpretieren Sie die beiden zusammengeklebten Linien als einen Pfad der Modellmenge M1. Verfahren Sie mit den Linien von 〈 z2, M2, D2 〉 zu 〈 z4, M4, D4 〉 und von 〈 z4, M4, D4 〉 zu 〈 z6, M6, D6 〉 in derselben Weise.

d) Verfahren Sie in ähnlicher Weise bei Faktensammlungen.