Daltonsche Stöchiometrie (STO)

Grundmengen
C   Menge von Substanzen
F   Menge von Formeln
T   Menge von Zeitpunkten

Hilfsbasismengen
\mathbb{N}   die Menge der reellen Zahlen
\mathbb{R}   die Menge der 3-dimensionalen, reellen Zahlen

Relation
E   Menge von Elementarformeln

Funktionen
∗   Konkatenationsfunktion
η   Koeffizientenfunktion
ω   Gewichtsfunktion (combining weight function)
f    Formelfunktion
k   Funktion, die die reduzierten kleinsten Koeffizienten beschreibt
μ   Molekulargewichtsfunktion

Konstanten
Λ   Leerstelle
n   die Anzahl der Elementarformeln

Definitionen
\mathbb{R}^+_0 ist die Menge der nicht-negativen, reellen Zahlen
\mathbb{R}^+ ist die Menge der positiven, reellen Zahlen
\mathbb{N}_n = { 1, 2, 3, …, n }
s1 ∗ … ∗ sr ist eine Abkürzung für ∗ ( s1, … ∗ ( sr-2, ∗( sr-2, sr ) ) … )
η ( i, Γ ) = mi
η ( i, Γ ) ei ist eine Abkürzung für mi-malige Anwendung von ∗. Dabei ist η ( i, Γ ) = mi und η ( i, Γ ) ei = ∗ ( ei, … ∗ ( ei, ∗ ( ei, ei ) … ) )
\Sigma^*_{i=1,...,n} η ( i, Γ ) \circ ei ist eine Abkürzung für η ( 1, Γ ) e1 ∗ … ∗ η ( n, Γ ) en

Typisierungen
θ1   ∗ ∈ \cal FUN ( F × F : F )
θ2   n ∈ \mathbb{N}
θ3   η ∈ \cal FUN ( \mathbb{N}_n × F : \mathbb{N} )
θ4   Λ ∈ F
θ5   E ∈ ℘ ( F )
θ6   ω ∈ \cal FUN ( C × T : \mathbb{R}^+_0 )
θ7   f ∈ \cal FUN ( C : F \ { Λ } )
θ8   k ∈ \cal FUN ( C × T : \mathbb{N} )
θ9   μ ∈ \cal FUN ( F \ { Λ } : \mathbb{R}^+ )

Hypothesen
H1   T ⊂ \mathbb{R} ∧ T = { -1, 1 }
H2   ∗ ist assoziativ und kommutativ
H3   0 < n
H4   ∃ e1, …, en ∈ F ( E = { e1, …, en } ∧ ∀ s ∈ F ( s = \Sigma^*_{i=1,...,n} η ( i, Γ ) ei )
H5   ∀ s ∈ F ( s ∗ Λ = Λ ∗ s = s )
H6   ∀ s1, s2 ∈ F ( s1 ≠ Λ ≠ s2 → s2 ≠ s1 ∗ s2 ≠ s1 )
H7   ∀ s ∈ C ∃ t ∈ T ( ω ( s, t ) ≠ 0 )
H8   f ist injektiv
H9   ∀ s ∈ C ∀ t ∈ T ( k ( s, t ) = 0 ↔ ω ( s, t ) = 0 )
H10  ∀ i ≤ n ∀ e1, …, en ∈ E ( μ ( \Sigma^*_{i=1,...,n} η ( i, ei ) ei ) = \Sigma_{i=1,...,n}  η ( i, ei ) ⋅ μ ( ei ) )
H11  ∀ t, t ‘ ∈ T ∀ i ≤ n ( \Sigma_{i=1,...,n} k ( s, t ) ⋅ η ( i, f ( s ) ) =  \Sigma_{i=1,...,n} k ( s, t ‘ ) ⋅ η ( i, f ( s ) ) )
H12  ∀ s, s ‘ ∈ C ∀ t, t‘ ∈ T ( ω ( s ‘, t ‘ ) ≠ 0 → \frac{\omega(s,t)}{\omega(s',t')} = \frac{k(s,t)}{k(s',t')} \cdot \frac{\mu(f(s)}{\mu(f(s'))} )

Modelle
x ist ein Modell der Daltonschen Stöchiometrie M(STO) gdw es Mengen F, C, T, E, ∗, ω, η, f, k, μ gibt, so dass gilt:

x = 〈 F, C, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, E, ∗, ω, η, f, k, μ 〉

und die Relation, die Funktionen und Konstanten haben die Typen θ1, …, θ9 und die Hypothesen H1 ( F, C, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, E, ∗, ω, η, f, k, μ ) und … und H12 ( F, C, T, \mathbb{N}, \mathbb{R}, E, ∗, ω, η, f, k, μ ) gelten in x.

I(STO) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Systeme von chemischen Reaktionen

Querverbindungen
Q1(STO)   Formelkonstruktion bleibt in allen Modellen gleich
w ist eine Formelquerverbindung, kurz: w ∈ Q1(STO), gdw wenn es x, C x, F x, …, μ x, y, C y, F y, …, μ y gibt, so dass gilt:

x = 〈 C x, F x, …, μ x 〉 ∈ M(STO),
y = 〈 C y, F y, …, μ y 〉 ∈ M(STO),
〈 F x, ∗ x, Λ x, n x, E x 〉 = 〈 F y, ∗ y, Λ y, n y, E y 〉 und
w = 〈 x, y, 〈 F x, ∗ x, Λ x, n x, E x 〉, 〈 F y, ∗ y, Λ y, n y, E y 〉 〉

Q2(STO)   eine Substanz hat in zwei Modellen die gleiche Formel
w ist eine Querverbindung für die Zuordnung einer Substanz zu einer Formel, kurz: w ∈ Q2(STO), gdw wenn es  x, C x, F x, …, μ x, y, C y, F y, …, μ y, s gibt, so dass gilt:

x = 〈 C x, F x, …, μ x 〉 ∈ M(STO),
y = 〈 C y, F y, …, μ y 〉 ∈ M(STO),
s ∈ C x ∩ C y und  f x ( s ) = f y ( s ) und
w = 〈 x, y, 〈 C x, f x, C y, f y, s 〉 〉

Q3(STO)   die Menge der Elementarformeln ist in zwei Modellen identisch
w ist eine Querverbindung der Elementarformeln, kurz: w ∈ Q2(STO), gdw es x, C x, F x, …, μ x, y, C y, F y, …, μ y, E x, E y gibt, so dass gilt:

x = 〈 C x, F x, …, μ x 〉 ∈ M(STO),
y = 〈 C y, F y, …, μ y 〉 ∈ M(STO),
E x = E y und
w = 〈 x, y, 〈 E x, E y 〉 〉

Q4(STO)   Molekulargewicht einer Substanz bleibt in zwei Modellen gleich
w ist eine Querverbindung des Molekulargewichts einer Substanz, kurz w ∈ Q4(STO), gdw es x, C x, F x, …, μ x, y, C y, F y, …, μ y, μ x, μ y, s gibt, so dass gilt:

x = 〈 C x, F x, …, μ x 〉 ∈ M(STO),
y = 〈 C y, F y, …, μ y 〉 ∈ M(STO),
s ∈ C x ∩ C y und μ x ( s ) = μ y ( s ) und
w = 〈 x, y, 〈 μ x, μ y, s 〉 〉