Ein Beobachter nimmt seine Umgebung wahr. Einige materielle Gegenstände, die ihre Lage mit der Zeit nicht ändern, hebt er hervor. Nennen wir diese Gegenstände Objekte. Wir nehmen an, dass der Beobachter Metermaß und Maßstäbe m1, m2, m3, … zur Hand hat. Er misst damit die Abstände verschiedener Objekte.
Um in diese Abstände eine gewisse Ordnung zu bringen, versieht er vier verschiedene Objekte mit Namen: Ursprungspunkt u, Richtungspunkt1 e1, Richtungspunkt2 e2 und Richtungspunkt3 und e3. Der Beobachter kann vom Ursprungspunkt u ein Maßstab m1 so anlegen, dass der Stab sowohl den Ursprungspunkt u als auch den Richtungspunkt1 e1 berührt. Die dazu nötigen Handlungen und Werkzeuge setzen wir als bekannt voraus. Genauso verfährt der Beobachter mit den beiden Richtungspunkten2 e2 und Richtungspunkten3 e3 mit Maßstäben m2 und m3. In den drei Richtungen können wir uns Geraden g1, g2, g3 vorstellen, so dass die Punkte u und ei auf der Geraden gi liegen ( i = 1, 2, 3 ).
Damit hat der Beobachter drei Koordinatenachsen erzeugt, mit denen er die Abstände von Objekten in anderer Weise ausdrückt. Er misst den Abstand eines Objekts o zum Ursprungspunkt u nicht direkt, sondern er konstruiert ein Objekt ki auf einer Koordinatenachse gi, von dem aus er den Abstand von o misst.
Dies geschieht wie folgt. Er «konstruiert» ein weiteres Objekt k1 (falls dies noch nicht zu den anfänglich vorhandenen Objekte dazu gehört), welches zwischen dem Ursprungspunkt u und dem Richtungspunkt e1 liegt. Dann legt er einen Maßstab m1 an u und k1 an und einen Maßstab m1‘ an k1 und o an, so dass diese Maßstäbe einen rechten Winkel bilden. (Dies ist eine komplexe Prozedur, die wir hier als bekannt voraussetzen.) Schließlich misst der Beobachter den Abstand zwischen k1 und o und den Abstand zwischen k1 und u.
Damit sind zwei Abstände d1 ( k1, o ) und d1 ( k1, u ) bekannt. Nach einer geometrischen Hypothese erfüllen diese zwei bekannten Abstände und der dritte Abstand d1 ( u, o ) den wohlbekannten Satz von Pythagoras. Damit kann der Abstand zwischen u und o durch die Abstände zwischen k1 und u und zwischen k1 und o eindeutig bestimmt werden.
Genauso verfahren wir in den beiden anderen Richtungen. Wir erhalten Abstände d2 ( u, o ) und d3 ( u, o ). Es stellt sich heraus, dass alle drei Abstände d1 ( u, o ), d2 ( u, o ), d3 ( u, o ) zum selben Resultat führen: d1 ( u, o ) = d2 ( u, o ) = d3 ( u, o ).
Durch vielfache Bestätigung sind die drei Abstände dieselben. Dies liegt hauptsächlich daran, dass sich die Abstände aller untersuchten Objekte nicht ändern und daran, dass das eingesetzte Verfahren auch bei Wiederholung dasselbe Resultat zeigt — was bei anderen Verfahren nicht immer der Fall ist.
a) Zeichnen Sie 5 Punkte in ein Koordinatensystem mit drei Achsen ein. Ein Punkt u soll im Ursprung des Systems liegen, drei Punkte e1, e2, e3 sollen auf den drei Koordinatenachsen g1, g2, g3 liegen und der fünfte o auf keinem der Koordinatenachsen. Zeichen Sie einen Pfeil vom Ursprung zu dem Punkt o.
b) Zeichnen Sie wie oben beschrieben einen Punkt k1 und eine Gerade g4 ein, so dass 1) die Punkte o und k1 auf g4 liegt und 2) Gerade g1 und g4 einen rechten Winkel bilden. Zeichnen Sie in derselben Weise zwei weitere Punkte k2, k3, Geraden g5 und g6 ein.
c) Wenden Sie bei jedem der drei rechtwinklig angeordneten Geradenpaare den Satz von Pythagoras an. Wenn Ihnen dieses Theorem nicht vertraut ist, lesen Sie dieses Theorem im Internet nach.
d) Prüfen Sie, ob bei allen drei Konstruktionen die Abstände zwischen u und o dieselben sind. Diskutieren Sie, warum dies so ist. Oder warum dieses bei Ihnen nicht so ist?