Mengentheoretisch wird eine Funktion f durch eine Menge von Paaren 〈 a, w 〉 beschrieben. a ist ein Argument und w ein Funktionswert von f. Die Argumente von f bilden den Argumentbereich A und die Funktionswerte den Wertebereich W von f. f ist also eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × W. Meist werden neben den Werten auch mögliche Werte in Betracht gezogen: W ⊂ B. All dies wird so abgekürzt:
f ⊆ A × W, f = { 〈 a, w 〉 / a ∈ A ∧ w ∈ W }, W ⊂ B,
f : A → B und f : A → W.
Die Eindeutigkeit der Funktion f wird durch die Formel
| ∀ a ∈ A ∀ w ∈ W ∈ w ‘ ∈ W ( 〈 a, w 〉 ∈ f ∧ 〈 a, w ‘ 〉 ∈ f → w = w ‘ ) | (1) |
ausgedrückt. Da es zu einem Argument immer nur einen Wert geben kann, wird statt
〈 a, w 〉 ∈ f einfach w = f ( a )
geschrieben.
Neben dieser Art von Eindeutigkeit, gibt es eine zweite Art von Eindeutigkeit, die sich auf eine Menge von Funktionen bezieht, die alle dieselben Argument- und Wertebereiche haben, A und W. Die Menge F der Funktionen lässt sich wie folgt schreiben:
F = { f / f ⊆ A × W ∧ 
( f, A, W ) }.
Der Term ( f, A, W ) besagt, dass alle Funktionen f aus der Menge F die Eigenschaft haben. Ein Teilbereich 
aus dem Argumentbereich A wird fest vorgegeben: ⊆ A. Die zweite Art von Eindeutigkeit lässt sich nun wie folgt formulieren. Die Einschränkung 
der Funktion f : A → W wird gebildet, indem der Argumentbereich A auf , ⊆ A, : → W eingeschränkt wird. Wenn die «Bedingung» fest vorgegeben wird, kann diese Art von Eindeutigkeit so geschrieben werden:
∀ f 1 ∈ F ∀ f 2 ∈ F (  =  | (2) |
Dies besagt, dass die Funktionen aus F die Bedingung eindeutig erfüllen. Oft wird diese Art von Eindeutigkeit nur auf ein einziges Argument a bezogen: = { a }, f { a }.
Im folgenden sei A die Menge { 1, 2, …, 10 } und die Menge B der möglichen Werte die Menge { 1, 2, …, 10 }.
a) Zeichnen Sie eine Funktion f. Auf der x-Achse sind 10 Argumente der Funktion f durch die Zahlen 1, …, 10 und auf der y-Achse 10 mögliche Werte durch die Zahlen 1, …, 10 eingezeichnet. Stellen Sie diese Funktion durch die Menge { 〈 1, 3 〉, 〈 2, 3 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 3 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 3 〉, 〈 9, 3 〉, 〈 10, 3 〉 } dar. Zeichnen Sie diese Funktion, so dass ein Paar 〈 a, f ( a ) 〉 durch einen Punkt auf der Ebene dargestellt wird.
b) Stellen Sie in derselben Weise die Funktion { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 1 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 1 〉, 〈 5, 5 〉, 〈 6, 1 〉, 〈 7, 7 〉, 〈 8, 1 〉, 〈 9, 9 〉, 〈 10, 1 〉 } dar.
c) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 1 = { 〈 1, 10 〉, 〈 2, 9 〉, 〈 3, 7 〉, 〈 4, 5 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 5 〉, 〈 9, 6 〉, 〈 10, 8 〉 }.
d) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 2 = { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 2 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 3 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 5 〉, 〈 9, 6 〉, 〈 10, 8 〉 }.
e) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 3 = { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 1 〉, 〈 3, 2 〉, 〈 4, 2.5 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 2.5 〉, 〈 9, 2 〉, 〈 10, 1.5 〉 }.
f) Die Bedingung sei die Menge { 5, 6, 7 } und F die Menge { f 1, f 2, f 3 }. Übertragen Sie die drei in c) – e) gezeichneten Funktionen in dasselbe Koordinatensystem. Sie sehen, dass alle drei Funktionen eingeschränkt auf die Bedingung {5, 6, 7 } identisch sind. Beweisen Sie, dass die Funktionen aus F die Bedingung eindeutig erfüllen.
g) Zeigen Sie, dass die Mengen und f ∩ ( × W ) identisch sind.