Ü10-5: Messmodelle mit stetigen Funktionen

Wir nehmen an, dass es in einem Messmodell eine Funktion f von der Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen in die Menge $\mathbb{R}$ gibt. Die Funktion f heißt im Punkt a₀ ∈ $\mathbb{R}$ stetig, wenn folgendes gilt:

∀ ∈ > 0 ∃ δ > 0 ∀ b ( | b – a₀ | < ε → | f ( b ) – f ( a₀ ) | < δ )

(1)

f heißt stetig, wenn die Aussage (1) für alle Argumente a₀ von f gilt.
Die Menge { x / x ∈ $\mathbb{R}$ ∧ | x – a₀ | < ε } ist eine Umgebung von a₀. Und die Menge { y / y ∈ $\mathbb{R}$ ∧ | y – f ( a₀ ) | < δ } ist eine Umgebung von f ( a₀ ).

a) Zeichnen Sie die x– und y-Achsen, eine Funktion f : $\mathbb{R}$ → $\mathbb{R}$ und ein Argument a₀ für f auf. Zeichnen Sie um den Punkt a₀ auf der x-Achse eine ε-Umgebung und um den Punkt f ( a₀ ) auf der y-Achse eine δ-Umgebung. Zeichnen Sie in der ε-Umgebung einen Punkt b und den dazugehörigen Punkt f ( b ) auf der y-Achse ein. Verkleinern Sie die ε-Umgebung so lange, bis b nicht mehr in der ε ‘-Umgebung liegt. Zeichnen Sie einen weiteren Punkt c in der ε ‘-Umgebung ein und schauen Sie, ob f ( c ) auf der y-Achse noch in der δ-Umgebung liegt. Wenn nicht, müssen Sie eine kleinere δ ‘-Umgebung um f ( a₀ ) einzeichnen, um die Aussage (1) nicht falsch werden zu lassen.

b) Formulieren Sie die Aussage (1) topologisch, so dass statt den Betragszeichen Symbole U, U ‘, … für Umgebungen für a₀ und Symbole V, V ‘, … für Umgebungen für f ( a₀ ) verwendet werden.

c) Interpretieren Sie die Punkte in dem Koordinatensystem nicht mehr als Paare von reellen Zahlen, sondern als Punkte aus einem topologischen Raum. Lässt sich in dieser neuen Interpretation die Definition der Stetigkeit weiterverwenden?