Ü10-6: Der dreidimensionale, reelle Zahlenraum

Dieser Raum enthält unter anderem eine Menge von Tripeln

〈 α1, α2, α3 〉

von reellen Zahlen. Die reellen Zahlen 0 und 1 spielen auch in dem dreidimensionalen Raum eine zentrale Rolle. Aus den Zahlen 0 und 1 sind 8 Tripel 〈 0, 0, 0 〉, 〈 1, 0, 0 〉, 〈 0, 1, 0 〉, 〈 0, 0, 1 〉, 〈 1, 1, 0 〉, … , 〈 1, 1, 1 〉 gebildet. Dadurch lassen sich im dreidimensionalen Raum drei Koordinatenachsen definieren. Die «erste» Koordinatenachse (die «x-Achse») besteht aus der Menge aller Tripel der Form 〈 x, 0, 0 〉 : { 〈 x, 0, 0 〉 / x ∈ \mathbb{R} }. Die x-Achse lässt sich eins-zu-eins in die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} transformieren.
Aus der Relation < für reelle Zahlen wird eine ähnliche Relation für Tripel definiert:

〈 α1, α2, α3 〉 \prec 〈 γ1, γ2, γ3 〉 gdw α1 < γ1 ∧ α2 < γ2 ∧ α3 < γ3.

Genauso wird mit den Funktionen der Addition und der Multiplikation verfahren:

〈 α1, α2, α3 〉 \oplus 〈 γ1, γ2, γ3 〉 = 〈 α1 + γ1, α2 + γ2, α3 + γ3 〉

und

〈 α1, α2, α3 〉 \otimes 〈 γ1, γ2, γ3 〉 = 〈 α1 ⋅ γ1, α2 ⋅ γ2, α3 ⋅ γ3 〉.

a) Stellen Sie die beiden anderen Achsen des dreidimensionalen Raumes dar.

b) Zeichnen Sie drei Koordinatenachsen auf und bezeichnen Sie die Achsen mit x-, y– und z-Achse. Zeichnen Sie ein Tripel a = 〈 α1, α2, α3 〉 in dem Raum ein, welches auf keiner der Achsen liegt. Zeichnen Sie von a drei senkrecht zu den Achsen stehende Strecken ein. Tragen Sie die Fußpunkte 〈 β1, 0, 0 〉, 〈 0, β2, 0 〉, 〈 0, 0, β3 〉 der drei Strecken auf der jeweiligen Achse ein. Formulieren Sie das Theorem von Pythagoras (Ü9-1) zwischen den Punkten 〈 0, 0, 0 〉, 〈 β1, 0, 0 〉 und 〈 α1, α2, α3 〉. Interpretieren Sie die Strecke von 〈 0, 0, 0 〉 zu 〈 α1, α2, α3 〉.

c) Die Zahl  β1 in b) nennt man die x-Koordinate von a. Zeichnen Sie alle Koordinaten von a ein. Sie sehen, dass bei allen drei Dreiecken die Strecke zwischen 〈 0, 0, 0 〉 und 〈 α1, α2, α3 〉 dieselbe ist. Änderns Sie die Strecke von 〈 0, 0, 0 〉 nach 〈 α1, α2, α3 〉 zu einem Pfeil um. Dieser Pfeil wird ein Vektor genannt.

d) Zeichnen Sie ein zweites Tripel 〈 δ1, δ2, δ3 〉 und die drei dazugehörigen Koordinaten ein. Stellen Sie die Addition von 〈 α1, α2, α3 〉 und 〈 δ1, δ2, δ3 〉 durch \oplus graphisch mit Hilfe der Koordinaten und den dazugehörigen Strecken dar.