Wahrscheinlichkeitstheorie, bedingte (WBT)

Grundmenge
Ω Menge von elementaren Ereignissen

Hilfsbasismenge
$\mathbb{R}$ (Menge der reellen Zahlen)

Relation
$\cal A$ Menge von Zufallsereignissen

Funktion
p^b bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion

Definitionen
[ 0, 1 ] ist das reelle Intervall von 0 bis 1, [ 0, 1 ] ⊂ $\mathbb{R}$
A ^c ist das Komplement einer Menge A
p ( X | Y ) := p^b ( X, Y ) bedingte Wahrscheinlichkeit

Typisierungen
θ₁ $\cal A$ ∈ ℘ ( ℘ ( Ω ) )
θ₂ p^b ∈ $\cal FUN$ ( $\cal A$ × $\cal A$ : [ 0, 1 ] )

Hypothesen
H₁Ω ∈ $\cal A$
H₂∀ A ( A ∈ $\cal A$ → A ^c ∈ $\cal A$ )
H₃für jede Folge ( A_i )_{i = 1, 2, 3, …} mit A_i ∈ $\cal A$ ist auch ∪_i A_i ∈ $\cal A$
H₄ ∀ A ∈ $\cal A$ ( p ( Ω | A ) = 1 )
H₅ ∀ A, B ∈ $\cal A$ ( p ( A | B ) + p ( A ^c | B ) = 1 )
H₆ ∀ A, B, C ∈ $\cal A$ ( p ( A ∪ B | C ) = p ( A | C ) ⋅ p ( B | A ∪ C ) = p ( B | C ) ⋅ p ( A | B ∪ C ) )

Modelle
x ist ein Wahrscheinlichkeitsraum gdw es Mengen Ω, $\cal A$ , p gibt, so dass gilt:

x = 〈 Ω, [ 0, 1 ], $\cal A$ , p 〉

und die Relation $\cal A$ und die Funktion p haben die Typen θ₁ und θ₂ und die Hypothesen H₁ ( Ω, [ 0, 1 ], $\cal A$ , p ), …, H₆ ( Ω, [ 0, 1 ], $\cal A$ , p )) gelten in x.

I(WFT) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Würfelwürfe
– Münzwürfe
– Kartenspiele
– Börsenprogramme