Ü11-4: Boolescher Verband – Wissenschaftstheorie

Ein Boolescher Verband

x = 〈 $\cal A$ , 0, 1, ^c, ∩, ∪ 〉

besteht aus einer Menge $\cal A$ von «Objekten», aus zwei speziellen Objekten 0 und 1, aus zwei zweistelligen Funktionen ∩ und ∪, welche Paare von Objekten in ein anderes Objekt überführen und eine einstellige Funktion ^c, die jede Menge in das jeweilige Komplement überführt:

^c : $\cal A$ → $\cal A$ , ∩ : $\cal A$ × $\cal A$ → $\cal A$ , ∪ : $\cal A$ × $\cal A$ → $\cal A$ und 0 ∈ $\cal A$ und 1 ∈ $\cal A$ .

Die Funktionen ∩ und ∪ werden in einer speziellen Weise geschrieben. Statt ∩ ( A, B ) wird A ∩ B, statt ∪ ( A, B ) wird A ∪ B und statt ^c ( A ) wird A^c geschrieben.

Ein Boolescher Verband erfüllt verschiedene Hypothesen.

∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ( A ∩ B = B ∩ A )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ( A ∪ B = B ∪ A )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ∀ C ∈ $\cal A$ ( ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ∀ C ∈ $\cal A$ ( ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ( A ∪ ( A ∩ B ) = A )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ( A ∩ ( A ∪ B ) = A )
∀ A ∈ $\cal A$ ( A ∩ 0 = 0 ∧ A ∪ 0 = A )
∀ A ∈ $\cal A$ ( A ∩ 1 = A ∧ A ∪ 1 = 1 )
∀ A ∈ $\cal A$ ( A ∩ A^c = 0 ∧ A ∪ A^c = 1 )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ∀ C ∈ $\cal A$ ( A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) )
∀ A ∈ $\cal A$ ∀ B ∈ $\cal A$ ∀ C ∈ $\cal A$ ( A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ).

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die Objekte A ∈ $\cal A$ Mengen, die alle Teilmengen aus einer anderen Menge Ω sind: A ⊆ Ω. In diesen Anwendungen lassen sich die Funktionen ∩ und ∪ als mengentheoretische Vereinigung und Durchschnitt und die Konstanten 0 und 1 als spezielle Teilmengen von Ω interpretieren: 0 = $\emptyset$ und 1 = Ω.

a) Zeichnen Sie Menge Ω als Rechteck. Identifizieren Sie die Teilmengen 0 und 1. Zeichnen Sie drei Teilmengen A, B, C ein, welche sich überlappen. Überprüfen Sie, ob die oben aufgeschriebenen Hypothesen gelten?

b) Versuchen Sie den «kleinsten» Booleschen Verband zu finden. (Hinweis: Die Objekte 0 und 1 sind in jedem Booleschen Verband zu finden.)

c) Zeichnen Sie die Menge Ω als Rechteck und teilen Sie das Rechteck in jeweils 5 disjunkte Teilmengen. Wiederholen Sie dies mit drei weiteren disjunkten Teilmengen, so dass keine der Teilmengen identisch mit einer anderen Teilmenge ist.