Theorie der natürlichen Zahlen (ART)

Grundmenge
$\mathbb{N}$ Menge der natürlichen Zahlen

Funktion
f Nachfolgefunktion

Typisierung
θ f ∈ $\cal FUN$ ( $\mathbb{N}$ : $\mathbb{N}$ )

Konstante
0 die Zahl «Null»

Definition
f ( X ) = { f ( x ) / x ∈ X } ist das Bild von f der Menge X

Hypothesen
H₁ f ist injektiv
H₂0 ∈ $\mathbb{N}$
H₃0 ∉ f ( $\mathbb{N}$ ) ∧ ∀ X ( X ⊆ $\mathbb{N}$ ∧ 0 ∈ X ∧ ∀ x ( x ∈ X → f ( x ) ∈ X ) → $\mathbb{N}$ ⊆ X )

Modelle
x ist ein Modell der natürlichen Zahlen M(ART) gdw es 0 und Mengen $\mathbb{N}$ und f gibt, so dass gilt:

x = 〈 $\mathbb{N}$ , 0, f 〉

und die Relation f hat den Typ θ
und die Hypothesen H₁ ( $\mathbb{N}$ , 0, f ), …, H₂ ( $\mathbb{N}$ , 0, f ) gelten in x.

I(ART) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiel
– die Menge der natürlichen Zahlen