Theorie der Verbände (VER)

Grundmenge
O   Menge von Objekten

Relationen
∩   Durchschnitt
∪   Vereinigung

Konstanten
0   Nullelement
1   Einselement

Typisierungen
Θ1   ∩ ∈ \cal FUN ( O × O : O )
Θ2   ∪ ∈ \cal FUN ( O × O : O )
Θ3   0 ∈ O
Θ4   1 ∈ O

Hypothesen
Für alle a, b, c ∈ O gilt:
H1   a ∩ bb ∩ a
H2   a ∪ bb ∩ a
H3   a ∩ b ) ∩ ca ∩ ( b ∩ c )
H4   a ∪ b ) ∪ ca ∪ ( b ∪ c )
H5   a ∩ ( a ∪ b ) = a
H6   a ∪ ( a ∩ b ) = a
H7   a ∩ 0 = 0 ∧ a ∪ 0 = a
H8   a ∩ 1 = a ∧ a ∪ 1 = 1
H9   a ca ∩ a c = 0 ∧ a ∪ a c = 1 )
H10  a ∩ ( b ∪ c ) = ( a ∩ b ) ∪ ( a ∩ c )
H11  a ∪ ( b ∩ c ) = ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c )

Modelle
x ist ein komplementärer, distributiver Verband mit Null und Eins gdw es 0, 1 und Mengen O, ∩, ∪ gibt, so dass gilt:

x = 〈 O, ∩, ∪, 0, 1 〉

und die Relationen und Konstanten haben die Typen Θ1, …, Θ4 und die Hypothesen H1O, ∩, ∪, 0, 1 ) und … und H11O, ∩, ∪, 0, 1 ) gelten in x.

Ein allgemeiner Verband erfüllt nur H1H6,
ein Verband mit Null und Eins erfüllt H1H8,
ein komplementärer Verband erfüllt H1H9,
ein Boolescher Verband erfüllt H1H11.

I(VER) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Systeme von Ausdrücken in natürlichen Sprachen
– Systeme von mathematischen Objekten