Eine Hypothese ist ein Satz, der etwas Allgemeines ausdrückt. Jeder kann eine Hypothese, also einen Satz formulieren. Ob ein Anderer diesen Satz auch gut oder richtig findet, steht auf einem anderen Blatt. Wissenschaftliche Hypothesen werden in der Phase der Entstehung einer Theorie formuliert. Und Andere, Unbeteiligte erfahren solche Hypothesen durch Bücher oder andere Medien.
Einige Beispiele:
1) Jedes Teilchen erfährt zu jedem Zeitpunkt eine Kraft, die sich aus der Masse des Teilchens und der Beschleunigung des Teilchens zu diesem Zeitpunkt multiplikativ zusammensetzt (Newtons zweites Axiom der klassischen Mechanik).
2) Jede Person, die Waren besitzt, versucht ihren Nutzen durch Tausch zu vergrößern (Nutzenmaximierung in der Mikroökonomie).
3) Jede Person versucht, die Beziehung des Mögens in ihrem Bekanntenkreis
zu verbessern. (Triaden Hypothesen von Deutsch)
Alle drei Hypothesen enthalten einen Ausdruck, welcher besagt, dass es um viele – oder relativ gesehen alle – Entitäten geht.
a) Formulieren Sie die Beispiele so um, dass jede Hypothese mit dem Ausdruck «Für alle» beginnt. Beschreiben Sie für jede Hypothese eine Menge, in der die Entitäten liegen, auf die der Ausdruck «Für alle» in der jeweiligen Hypothese zugreift.
b) Formulieren Sie zwei Hypothesen aus Ihrem Wissensbestand, welche die Ausdrücke «wenn – dann» und «für alle» enthalten.
Bei den formalen Sprachen werden Sätze in Atomsätze und komplexe Sätze eingeteilt.
Die einfachsten Operatoren, aus denen komplexe Sätze aus Atomsätzen konstruiert werden, sind die folgenden:
| und | ∧ | |
| oder | ∨ | |
| nicht | ¬ | |
| wenn – dann | → | |
| genau dann, wenn | ↔ | |
| für alle | ∀ | |
| es gibt | ∃ |
Wenn eine Menge von Atomsätzen gegeben ist, werden zur Konstruktion folgende Regeln verwendet:
| Wenn S ein Atomsatz ist, dann ist S auch ein komplexer Satz | (R1) |
| Wenn S1 und S2 komplexe Sätze sind, dann auch S1 ∧ S2. | (R2) |
| Wenn S1 und S2 komplexe Sätze sind, dann auch S1 ∨ S2. | (R3) |
| Wenn S ein komplexer Satz ist, dann ist auch ¬S ein komplexer Satz. | (R4) |
| Wenn S1 und S2 komplexe Sätze sind, dann auch S1 → S2. | (R5) |
| Wenn S1 und S2 komplexe Sätze sind, dann auch S1 ↔ S2. | (R6) |
| Wenn S ( x ) ein komplexer Satz ist, dann ist auch ∀ x S ( x ) ein komplexer Satz. | (R7) |
| Wenn S ( x ) ein komplexer Satz ist, dann ist auch ∃ x S ( x ) ein komplexer Satz. | (R8) |
In dieser Definition wurden Klammern weggelassen, die bei Iteration dieser Regeln zu Mehrdeutigkeiten führen.
c) Verbessern Sie diese Regeln, indem Sie jeweils den neu konstruierten Satz mit Klammern umgeben. Sind folgende formale Sätze immer richtig auch wenn die Sätze ohne Klammern formuliert wurden:
S1 ∧ S2 ↔ S2 ∧ S1
¬ ( S1 ∨ S2 ) ↔ ¬ S1 ∨ S2
S1 ∨ ( S2 ∧ S3 ) ↔ ( S1 ∨ S2 ) ∧ S3.