Ü2-10: Relationen, Funktionen und Konkatenation

Eine Relation ist eine mengentheoretische Beziehung zwischen Elementen von zwei oder mehr Mengen. Eine Relation wird dabei als eine Menge von Listen («n-Tupeln») beschrieben.

Genauer müssen n ( n > 0 ) Mengen A₁, …, A_n bereit stehen. Mit diesen Mengen wird ein kartesisches Produkt gebildet, welches abgekürzt oft wie folgt geschrieben wird:

Π_{i ≤ n} A_i.

Die Elemente x aus dem kartesischen Produkt haben die Form

x = 〈 x₁, …, x_n 〉,

wobei x₁ ein Element aus A₁ und … und x_n ein Element aus A_n ist, kurz:

x₁ ∈ A₁ und … und x_n ∈ A_n

oder noch kürzer:

x₁ ∈ A₁ ∧ … ∧ x_n ∈ A_n.

Eine Relation R ist eine Menge folgender Art:

R ⊆ Π_{i ≤ n} A_i oder genauer:

R ⊆ { 〈 x₁, …, x_n 〉 / x₁ ∈ A₁ ∧ … ∧ x_n ∈ A_n }.

Mit anderen Worten ist eine Relation also ein Menge von Listen, so dass jedes Element aus der Liste aus genau n Komponenten besteht, die aus den verschiedenen “Grundmengen” A₁, …, A_n stammen.

Bei einer Relation wird — wenn nötig — die Anzahl n der Mengen genauer spezifiziert, die bei der Konstruktion eingesetzt werden. In einem solchen Fall wird von einer n–stelligen Relation gesprochen.

Die 2-stelligen Relationen werden am häufigsten verwendet. Zwei weitere Fälle betreffen 1-stellige und 0-stellige Relationen.
Eine 1-stellige Relation drückt eine Eigenschaft aus.
Beispiel: Die einzige zur Konstruktion eingesetzte Menge ist die Menge A₁.
In diesem Fall wird auch der Index nicht benötigt. Statt A₁ wird einfach A geschrieben.

Nehmen wir A als die Menge der materiellen Objekte normaler Größe und Konsistenz. Die Eigenschaft rot kann dann durch die Menge R der roten Objekte umschrieben werden.
R = { x / x ist rot }, und R ⊂ A. Anders gesagt ist jedes Element x, welches die Eigenschaft hat, rot zu sein ( x ∈ R ), auch ein Element der Menge der Objekte.
Eine 0-stellige Relation R wird als eine Konstante bezeichnet. Als Menge lässt sich R am einfachsten durch eine ein-elementige Menge darstellen, z.B. R = { a }, wobei a ein Name oder eine Bezeichnung einer gut identifizierbaren Entität ist. Inhaltlich wird dabei der Name für die Konstante mit dem Namen der Menge R und mit dem Inhalt der Menge von { a } gleichgesetzt.
Beispiel: Die Gravitationskonstante in der Mechanik wird durch eine reelle Zahl: 6,374… bezeichnet. Mengentheoretisch wird diese Zahl in Mengenklammern gesetzt und als Menge in wissenschaftstheoretischem Kontext als Konstante verwendet.

a) Drücken Sie die Beziehung «später als» durch eine mengentheoretische Relation aus. Nehmen Sie dazu eine Menge Z von Zeitpunkten und bilden eine 2-stellige Relation über dieser Menge.

b) Stellen Sie die geometrische Beziehung «zwischen» mengentheoretisch durch eine dreistellige Relation zw dar. Formulieren Sie drei einfache Sätze, die neben logischen Operatoren und Klammern nur die Relation zw und die Grundmenge P der geometrischen Punkte enthalten.

c) Bei einem Warenaustausch werden zwei Personen, zwei Warenarten und zwei Quantitäten dieser Warenarten in eine Beziehung gesetzt: «es wird getauscht». Beschreiben Sie einen Wochenmarkt in einer kleinen Stadt, indem sie folgende Mengen spezifizieren: Menge der Marktteilnehmer, Menge der in diesem Markt tauschbaren Warenarten, Menge der Quantitäten von Waren. Formulieren Sie das kartesische Produkt dieser Mengen und beschreiben ein Element dieses Produktes inhaltlich in normaler Sprache. Versuchen Sie eine Tauschbeziehung bildlich zu fassen, wobei Sie die zwei Quantitäten der Waren, die getauscht werden, variieren sollten. D.h. versuchen Sie drei verschiedene Täusche in demselben Bild darzustellen.

Mengentheoretisch betrachtet ist eine Funktion f eine Relation, die zusätzlich zwei Bedingungen erfüllt. Um diese Bedingungen genauer zu formulieren, muss die Stellenzahl der Relation spezifiziert werden.

Wenn die Relation f 2-stellig ist, hat f die Form f  ⊂ A × W. Diese Funktion wird aber nicht in Teilmengenform geschrieben, sondern so:

f : A → W.

Die Menge A wird Argumentbereich (englisch: domain) von f und W der Wertebereich (englisch: range) von f genannt.

Ein Element der Funktion f  hat die Form 〈 a, w 〉, wobei a als das Argument von f und w der Funktionswert (oder oft auch einfach der Wert) von f  bezeichnet wird. Das Element 〈 a, w 〉 wird bei Funktionen meistens so geschrieben:

f ( a ) = w.

Folgende Formulierungen werden oft verwendet.

Die beiden Bedingungen für die Funktion f : A → W lauten wie folgt:
Für jedes Argument a aus A gibt es einen Funktionswert

Für jedes Argument a und für alle Funktionswerte

Kurz: ∀ a ∈ A ∀ w ∈ W ∀ w ‘ ∈ W ( f ( a ) = w ∧ f ( a ) = w ‘ → w = w ‘ )

d) Zeichnen Sie ein Rechteck, welches mit quadratischen Boxen gefüllt ist, und einen Kreis, welcher mit kleinen Dreiecken gefüllt ist. Zeichnen Sie für jede Box einen Pfeil von der Box zu einem Dreieck. Gibt es nach Ende Ihrer Zeichnung für jedes Dreieck einen Pfeil, der zu diesem Dreieck führt?
Wenn dies nicht der Fall ist, beweisen Sie, dass die beiden Funktionsbedingungen F1 und F2 trotzdem richtig sind.

e) Zeichnen Sie eine Funktion, mit der jeder Wähler eine Partei wählt. Wie behandeln Sie Wähler, die nicht oder ungültig wählen? Beschreiben Sie Ihre Funktion mengentheoretisch. Kann ein Wähler gleichzeitig zwei Parteien wählen?

f) Bei einer Nutzenfunktion, die in der Mikroökonomie verwendet wird, sind die Funktionswerte reelle Zahlen. Als Argumente sollten Personen, Warenarten, und Quantitäten von Waren der jeweiligen Art verwendet werden. Wir nehmen an, dass es nur zwei Warenarten gibt. Können sie diese Funktion dreidimensional aufzeichnen? Wenn es mehr als drei Warenarten gibt, wird die Nutzenfunktion auf eine bestimmte Person relativiert. Zeichnen Sie eine Funktion, die jeder Warenart eine nicht-negative, reelle Zahl zuordnet und interpretieren Sie diese Darstellung. Beschreiben Sie eine Nutzenfunktion mengentheoretisch.

Wenn eine Relation mehr als zwei Stellen hat und wenn sie als eine Funktion verwendet wird, muss eine weitere Zahl angegeben werden, welche die Anzahl der Argumente angibt, die bei der Funktion verwendet werden. Wenn die Relation R n-stellig ist, kommt die Anzahl m der Argumente hinzu: 0 < m < n. Funktional wird R zu einer m-stelligen Funktion f. Die Elemente aus R haben die Form 〈 x₁, …, x_n 〉. Funktional wird dies so geschrieben:

f ( x₁, …, x_m ) = 〈 x_m+1, …, x_n 〉.

Oft wird dies weiter abgekürzt, in dem die Listen 〈 x₁, …, x_m 〉 und  〈 x_m+1, …, x_n 〉 durch andere Symbole zusammengefasst werden, z.B.

f ( x ) = y, wobei x = 〈 x₁, …, x_m 〉 und y = 〈 x_{m+1}, …, x_n 〉.

Die erste Funktionsbedingung F1 wird auch in abgeschwächter Form eingesetzt. Dabei müssen nicht alle Argumente a aus A verwendet werden. Genauer muss es eine Teilmenge A ‘ von A geben, die Bedingung F1 erfüllt: ∀ a ∈ A ‘ ∃ w ∈ W ( f ( a ) = w ).
Eine solche Funktion, die nur in einem Teilbereich definiert ist, wird partiell genannt; f ist eine partielle Funktion.

g) Modifizieren Sie Ihre Funktion aus e) so, dass Wähler die nicht gewählt oder eine ungültige Stimme abgegeben haben, in der Zeichnung eliminiert werden. Beschreiben Sie mengentheoretisch die neue Funktion, bei der nur «echte» Wähler verwendet werden. Beweise Sie, dass die neue Funktion mengentheoretisch eine Teilmenge der Funktion aus e) ist.

h) Definieren Sie eine Funktion, bei der alle Argumente bekannt sind, bei der aber die Funktionswerte bei einigen Argumenten nicht bestimmt werden können.

Zwei Relationen R und R ‘ können mengentheoretisch zusammengefügt (konkateniert) werden. Dies geschieht, indem jeweils zwei Elemente r ∈ R und r ‘ ∈ R ‘ in Beziehung gesetzt werden. Genauer haben die Elemente r und r ‘ die Form r = 〈 a, b 〉 und r ‘ = 〈 a ‘, b ‘ 〉, wobei die Grundmengen A, B, A ‘ und B ‘ bekannt sein müssen. D.h. R ⊆ A × B und R ‘ ⊆ A ‘ × B ‘.
Die Elemente r und r ‘ stehen mit den Relationen R und R ‘ in Beziehung, wenn es ein Element c gibt, welches sowohl in B als auch in A ‘ liegt, so dass gilt

r = 〈 a, c 〉 ∈ R und r ‘ = 〈 c, b ‘ 〉 ∈ R ‘.

Dies wird nun auf die Relationen R und R ‘ insgesamt übertragen. R ^* wird die Konkatenation von R und R ‘ genannt (kurz: R ^* = R R ‘), wenn folgendes gilt:

Für alle Elemente r ∈ R und r ‘ ∈ R ‘ gilt: wenn es ein
Element c gibt, welches in B und in A ‘ liegt und wenn
〈 a, c 〉 in R und 〈 c, b ‘ 〉 in R ‘,
dann liegt 〈 a, b ‘ 〉 in R ^*.

Dies wird weiter abgekürzt zu

R ^* = R R ‘ gdw R ^* = { 〈 x, y ‘ 〉 / ∃ z ( z ∈ B ∧ z ∈ A ‘ ∧ 〈 x, z 〉 ∈ R ∧ 〈 z, y ‘ 〉 ∈ R ‘ ) }.
Bei dieser Definition stellt sich heraus, dass es für zwei Relationen R und R ‘ genau eine Konkatenation R ^* ( R ^* = R R ‘ ) gibt. Das Symbol  erfüllt also beide Funktionseigenschaften: F1 und F2.  ist eine Funktion, die zwei Argumenten R und R ‘ einen Wert R R ‘ zuordnet.

Im einfachsten Fall werden alle Relationen auf dem kartesischen Produkt A × A gebildet.

i) Bilden Sie die Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten. Die Menge der Zahlen { 1, 2, 3 } bezeichnen wir mit A. Beschreiben Sie die Matrix-Einträge in der Form 〈 i, j 〉, 1 ≤ i ≤ 3 und 1 ≤ j ≤ 3. Bilden Sie 3 verschiedene Relationen R₁, R₂, R₃ über der Menge A × A. Berechnen Sie die Konkatenationen R₁  R₂ und R₂  R₃.

j) Wir gehen von vier Mengen A = { a, b, c }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A ‘ = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, B ‘ = { X, Y, Z, W } aus und schreiben zwei Relationen R ⊂ A × B und R ‘ ⊂ A ‘ × B ‘ genau wie folgt auf: R = { 〈 a, 2 〉, 〈 a, 3 〉, 〈 a, 4 〉, 〈 b, 1 〉, 〈 b, 5 〉 } und R ‘ = { 〈 3, W 〉, 〈 3, Z 〉, 〈 4, X 〉, 〈 7, Y 〉, 〈 8, Y 〉, 〈 8, Z 〉 }.
Berechnen Sie die Konkatenation von R und R ‘. Zeichnen Sie die zwei Relationen zweidimensional auf und berechnen Sie Elemente, die sowohl eine Komponente aus B und aus A ‘ hat.

Bei Funktionen lassen sich Zusammenfügungen einfacher konstruieren. Wenn die Funktion f die Form f : A → B und die Funktion g die Form g : B → C hat, wird die Konkatenation von f und g zu g  f durch Hintereinanderschaltung beider Funktionen erreicht. Funktionell wird dies so geschrieben:

g  f : A → C,
für alle x aus A gilt: ( g  f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) .

k) Zeichnen Sie die folgenden vier mathematischen Funktionen: die Sinusfunktion sin, die Cosinusfunktion cos, die Funktion f, welche bei jeder reellen Zahl die Zahl π/2 hinzu addiert: f ( x ) = x + π/2, und die Funktion g, bei der jede Zahl durch den negativen Wert ersetzt wird: g ( x ) = –x. Nehmen Sie eine Zahl x, berechnen Sie f ( x ). Schalten Sie cos dahinter, und dann die Funktion g mit Resultat h ( x ). Dann addieren Sie h ( x ) zu sin ( x ) hinzu. Bilden Sie durch Hintereinanderschaltung all dieser Funktionen die Funktion g ( cos ( x + π/2 ) ) + sin ( x ) und berechnen Sie diese Funktion mit Hilfe eines Mathematikbuchs oder per Internet.

• <<<
• >>>