Ü4-1: Aufbau von mengentheoretischen Ausdrücken

Wir verwenden folgende Variablen für Mengen:
x, y, z, x1, x2, x3, …, y1, y2, …, z1, z2, …
Terme werden aus folgenden Grundprädikaten aufgebaut:
1) x ∈ y, wobei x, y Variablen für Mengen sind
2) x = y, wobei x, y Variablen für Mengen sind
3) wenn t, t‘ Terme sind, dann sind auch

t ∧ t
t ∨ t
t → t
t ↔ t ‘ und
¬ t

Terme
4) wenn t ( x ) ein Term ist, dann sind auch

∀ x t ( x ) und
∃ x t ( x )

Terme
5) wenn t ( x ) ein Term ist, dann ist auch

{ x / t ( x )  }

ein Term.

a) Sind

x ∈ x
x = y → x ∈ y
x ∈ { y / y ∈ x }
x ∈ { y / y ∈ z }
x1 ∈ { y / y ∈ z } → x2 ∈ { y / y ∈ z }
∀ x ( x ∈ { y / y ∈ z } → ∃ x1 ( x1 ∈ { y / y ∈ x } ) )

Terme?
b) Machen folgende Terme inhaltlichen Sinn?

x = y
x = y → y = x
( x ∈ y ∧ y = z ) → x ∈ z
x ∈ y ∧ y ∈ z → x ∈ z
( x = y ∧ y = z ) → y = z

Folgende Terme werden so definiert:

{ x } ist eine Abkürzung für { x / x = x }
{ x, y } ist eine Abkürzung für { z / z = x ∨ z = y }
{ x1, …, xn } ist eine Abkürzung für { z / z = x1 ∧ … ∧ z = xn }
〈 x 〉 ist eine Abkürzung für { x } und damit für { x / x = x }
〈 x, y 〉 ist eine Abkürzung für { { x },  { x, y } } und damit für

{ z / z = { x } ∨ z = { x, y } } und damit für
{ z / z = { x / x = x } ∨ z = { u / u = x ∨ u = y } }

und so weiter.

Induktiv werden diese Definitionen wie folgt weitergeführt.

Wenn { x1, …, xn } definiert ist, bedeutet
{ x1, …, xn, xn+1 } folgendes
{ x1, …, xn, xn+1 } = { z / z = { x1, …, xn } ∨ z = { { x1, …, xn }, { xn+1 } } }

c) Sind

{ x1, y2, z2, z1, { x1, x2, x3 } }
{ x, { x, x }, { x, { x, x, x } }, { { x, { x, x, x } }, { x, { x, x, x, x } } } }
{ x, 〈 y, y, x 〉 }
〈 x, x1, y, { x, y2, y, y } 〉

definierte Terme?