Die Bestandteile des Wortes «Nominalskala» stammen aus dem Lateinischen. «Skala» bedeutet «Treppe» und «nominal», dass es zu einem Namen (nomen) gehört.
Nominalskala ist ein abstrakter Begriff der besagt, dass die Objekte aus einer gegebenen Menge G durch eine Funktion f zu Namen (oder Ausdrücken oder Bezeichnungen) aus einer Menge N zugeordnet werden. Dabei wird die Menge N von Namen meistens durch eine Liste beschrieben. Eine konkrete Nominalskala lässt sich dann einfach als eine Liste 〈 Name1, …, Namen 〉 von Namen oder Ausdrücken verstehen. Da jeder Name Namei an einer bestimmten Stelle dieser Liste steht, sind damit auch die Objekte durch ihre Namen in eine Art von Ordnung gebracht.
Die Reihenfolge der Namen ist bei einer Nominalskala aber nicht wichtig. Zum Beispiel können die Namen umbenannt werden. Sie können auch in anderer Reihenfolge hingeschrieben werden.
a) Beschreiben Sie eine einfache Nominalskala mit 10 Objekten und 4 Namen und stellen Sie die Funktion f als eine Liste von Paaren dar, wobei jedes Paar aus einem Argument und dem zugehörigen Funktionswert besteht.
b) Deuten Sie die Objekte und die Namen wie folgt um. Ein Objekt ist eine Frage zusammen mit 4 Möglichkeiten wie die Frage beantwortet werden kann. Zeichnen Sie die 10 Objekte auf der x-Achse ein. Auf der y-Achse tragen Sie die vier Namen (möglichen Alternativen, Funktionswerte) ein. Über jedem Objekt können Sie sich vier Punkte vorstellen; jeder Punkt «gehört» zum jeweiligen Namen. Über jedem Objekt ersetzen Sie genau einen Punkt durch ein Paar bestehend aus dem Objekt und dem zugehörigen Namen. Interpretieren Sie nun die Zeichnung als einen ausgefüllten Umfragebogen.
Mengentheoretisch lässt sich eine Nominalskala auch in mengentheoretischer Form darstellen, nämlich als ein Modell der Form 〈 G, < * 〉. G ist eine Menge von Objekten und < * ist eine zweistellige Relation zwischen diesen Objekten.
c) Beschreiben Sie die zweistellige, endliche Relation < * mengentheoretisch. Formulieren Sie drei Eigenschaften für die Relation < *:
anti-reflexiv
konnex
transitiv
durch mengentheoretische Sätze.
d) Formulieren Sie inhaltlich den Sachverhalt, dass zwei Objekte a, b in der Beziehung 〈 a, b 〉 ∈ < * stehen, indem Sie sich dazu eine reale Zwischenrelation ausdenken.
e) Definieren Sie, was es heißt, dass zwei Objekte a und b benachbart sind. Stellen Sie die Relation < * als eine Liste von benachbarten Objekten dar.
f) Zeichnen Sie eine zweistellige Relation auf, die nicht anti-reflexiv (d.h. eben reflexiv) ist, eine weitere, die nicht konnex ist, und eine weitere, die nicht transitiv ist.