Ü6-10: Mengentheoretisches Prädikat

Ein «normales» Prädikat bezeichnet eine Menge von Entitäten oder Beziehungen. Ein mengentheoretisches Prädikat bezeichnet eine ganze Klasse von Mengen (oder Modellen).

Ein mengentheoretisches Prädikat trifft auf eine Menge — bei uns genauer auf ein Modell einer Theorie — zu.

Als Beispiel haben wir in Ü6-9 die Modelle der kopernikanischen Theorie kennengelernt. Ein Modell dieser Theorie kann zum Beispiel so dargestellt werden.
x ist ein kopernikanisches Modell gdw
x die Form 〈 H, Z, $\mathbb{R}$ , <, s, S, MP 〉 hat und folgende Hypothesen gelten:
1) H ist eine endliche Menge
2) Z ist eine unendliche Menge
3) H und Z sind disjunkt
4) $\mathbb{R}$ ist die Menge der reellen Zahlen
5) < ⊂ Z × Z
6) s : H × Z → $\mathbb{R}$ ²
7) S ∈ H
8) MP ∈ $\mathbb{R}$ ²
9) < ist transitiv, konnex und anti-reflexiv
10) ∀ z ∈ Z ( s ( S, z ) = MP )
11) für alle Himmelskörper p — ausgenommen S — gibt es einen Kreis K ( p ), der den Punkt MP als Mittelpunkt hat und auf dem alle Orte s ( p, z ) des Himmelskörpers p liegen.
Dabei muss vorher das kartesische Produkt von $\mathbb{R}$ mit $\mathbb{R}$ gebildet werden: $\mathbb{R}$ ² = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{R}$ . Weiter muss die informelle Hypothese 11) genauer formuliert werden.

Damit kann folgendes mengentheoretisches Prädikat $\cal P$ gebildet werden.
Für alle x gilt: x ∈ $\cal P$ gdw es H, Z, <, s, S, MP gibt so dass gilt:
x = 〈 H, Z, $\mathbb{R}$ , <, s, S, MP 〉 und Hypothesen 1) – 11) gelten.
Dabei wird die Existenz der Menge der reellen Zahlen normalerweise als bekannt vorausgesetzt. $\cal P$ ist das mengentheoretische Prädikat für die kopernikanischen Modelle.

a) Formulieren Sie ein Modell der klassischen Geometrie, in dem drei Grundmengen P, G, E (von Punkten, Geraden und Ebenen) und drei Relationen zwischen, kongruent (für Punkte) und liegt in (für Punkte und Geraden und für Punkte und Ebenen) verwendet werden. Die Hypothesen können dabei informell gehalten oder gar nicht angegeben werden. Formulieren Sie explizit das mengentheoretische Prädikat für die klassische Geometrie.

b) Formulieren Sie ein Modell des Mögens in kleinen Personengruppen. Verwenden Sie eine Mengen P von Personen, eine Menge O von Objekten (keine Personen) und die Relation des Mögens mag: mag ( p, p ‘ ) und mag ( p, o ), p , p ‘ ∈ P und o ∈ O. Weitere Hypothesen können Sie sich selbst ausdenken. Formulieren Sie das so gebildete mengentheoretische Prädikat für Ihre Modelle des Mögens im Detail.