Ü9-2: Eindeutigkeit von Funktionen

Mengentheoretisch wird eine Funktion f durch eine Menge von Paaren 〈 a, w 〉 beschrieben. a ist ein Argument und w ein Funktionswert von f. Die Argumente von f  bilden den Argumentbereich A und die Funktionswerte den Wertebereich W von f. f ist also eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × W. Meist werden neben den Werten auch mögliche Werte in Betracht gezogen: W ⊂ B. All dies wird so abgekürzt:

f  ⊆ A × W, f = { 〈 a, w 〉 / a ∈ A ∧ w ∈ W }, W ⊂ B,
f : A → B und f : A → W.

Die Eindeutigkeit der Funktion f wird durch die Formel

∀ a ∈ A ∀ w ∈ W ∈ w ‘ ∈ W ( 〈 a, w 〉 ∈ f ∧ 〈 a, w ‘ 〉 ∈ f → w = w ‘ )(1)

ausgedrückt. Da es zu einem Argument immer nur einen Wert geben kann, wird statt

〈 a, w 〉 ∈ f einfach w = f ( a )

geschrieben.

Neben dieser Art von Eindeutigkeit, gibt es eine zweite Art von Eindeutigkeit, die sich auf eine Menge von Funktionen bezieht, die alle dieselben Argument- und Wertebereiche haben, A und W. Die Menge F der Funktionen lässt sich wie folgt schreiben:

F = {  f / f  ⊆ A × W ∧ \cal A ( f, A, W ) }.

Der Term \cal A ( f, A, W ) besagt, dass alle Funktionen f aus der Menge F die Eigenschaft \cal A haben. Ein Teilbereich \cal B aus dem Argumentbereich A wird fest vorgegeben: \cal B ⊆ A. Die zweite Art von Eindeutigkeit lässt sich nun wie folgt formulieren. Die Einschränkung f_{\cal B} der Funktion f : A → W wird gebildet, indem der Argumentbereich A auf \cal B\cal B ⊆ Af_{\cal B}\cal B → W eingeschränkt wird. Wenn die «Bedingung» \cal B fest vorgegeben wird, kann diese Art von Eindeutigkeit so geschrieben werden:

∀ f 1 ∈ F ∀ f 2 ∈ F ( f^1_{\cal B} = f^2_{\cal B} )(2)

Dies besagt, dass die Funktionen aus F die Bedingung \cal B eindeutig erfüllen. Oft wird diese Art von Eindeutigkeit nur auf ein einziges Argument a bezogen: \cal B = { a }, f { a }.
Im folgenden sei A die Menge { 1, 2, …, 10 } und die Menge B der möglichen Werte die Menge { 1, 2, …, 10 }.

a) Zeichnen Sie eine Funktion f. Auf der x-Achse sind 10 Argumente der Funktion f durch die Zahlen 1, …, 10 und auf der y-Achse 10 mögliche Werte durch die Zahlen 1, …, 10 eingezeichnet. Stellen Sie diese Funktion durch die Menge { 〈 1, 3 〉, 〈 2, 3 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 3 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 3 〉, 〈 9, 3 〉, 〈 10, 3 〉 } dar. Zeichnen Sie diese Funktion, so dass ein Paar 〈 a, f ( a ) 〉 durch einen Punkt auf der Ebene dargestellt wird.

b) Stellen Sie in derselben Weise die Funktion { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 1 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 1 〉, 〈 5, 5 〉, 〈 6, 1 〉, 〈 7, 7 〉, 〈 8, 1 〉, 〈 9, 9 〉, 〈 10, 1 〉 } dar.

c) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 1 = { 〈 1, 10 〉, 〈 2, 9 〉, 〈 3, 7 〉, 〈 4, 5 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 5 〉, 〈 9, 6 〉, 〈 10, 8 〉 }.

d) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 2 = { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 2 〉, 〈 3, 3 〉, 〈 4, 3 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 5 〉, 〈 9, 6 〉, 〈 10, 8 〉 }.

e) Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f 3 = { 〈 1, 1 〉, 〈 2, 1 〉, 〈 3, 2 〉, 〈 4, 2.5 〉, 〈 5, 3 〉, 〈 6, 3 〉, 〈 7, 3 〉, 〈 8, 2.5 〉, 〈 9, 2 〉, 〈 10, 1.5 〉 }.

f) Die Bedingung \cal B sei die Menge { 5, 6, 7 } und F die Menge { f 1, f 2f 3 }. Übertragen Sie die drei in c) – e) gezeichneten Funktionen in dasselbe Koordinatensystem. Sie sehen, dass alle drei Funktionen eingeschränkt auf die Bedingung {5, 6, 7 } identisch sind. Beweisen Sie, dass die Funktionen aus F die Bedingung \cal B eindeutig erfüllen.

g) Zeigen Sie, dass die Mengen f_{\cal B} und f ∩ ( \cal B × W ) identisch sind.