Ü9-4: Hypothesen für Längenmessung

Bei einer Methode der Längenmessung mit einem Metermaß werden zwei Grundmengen, die Hilfsbasismenge $\mathbb{N}$ und drei Relationen $\sim$ , $\preceq$ und $\circ$ verwendet. Ein Messmodell, welches eine solche Messung beschreibt, hat die Form

〈 S, E, $\mathbb{N}$ , $\sim$ , $\preceq$ , $\circ$ 〉.

S ist eine Menge von Stäben, E eine Menge von Einheitsstäben, $\sim$ ist eine Äquivalenzrelation zwischen Stäben, $\preceq$ ist die größer–gleich-Relation zwischen Stäben, $\circ$ ist die Konkatenationsrelation für Stäbe und $\mathbb{N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen.Wir geben eine Liste von Hypothesen an, die ein Messmodell erfüllen muss.
1) S und E sind nicht-leere Mengen und E ⊆ S
2) $\sim$ ⊂ S × S
3) ∀ a ∈ S ∀ b ∈ S ∀ c ∈ S ( a $\sim$ b ∧ b $\sim$ c → a $\sim$ c )
4) ∀ a ∈ S ( a $\sim$ a )
5) ∀ a ∈ S ∃ b ∈ S ( a $\sim$ b ).
Mit diesen ersten Hypothesen lassen sich Äquivalenzklassen wie folgt definieren:

Für jedes a ∈ S ist $\tilde{a}$ = { b / b ∈ S ∧ a $\sim$ b } die Äquivalenzklasse von a.

Aus den Mengen S und E entstehen so die Mengen $\tilde{S}$ und die Mengen $\tilde{E}$ von Äquivalenzklassen.

Weitere Hypothesen sind folgende:
6) $\preceq$ ⊂ $\tilde{S}$ × $\tilde{S}$
7) $\circ$ : ( $\tilde{S}$ × $\tilde{S}$ ) → $\tilde{S}$
8) $\preceq$ ist transitiv, reflexiv und konnex
9) $\circ$ ist assoziativ
10) ∀ $\tilde{a}$ ∈ $\tilde{S}$ ∀ $\tilde{c}$ ∈ $\tilde{S}$ ( $\tilde{a}$ $\preceq$ $\tilde{a}$ $\circ$ $\tilde{c}$ )
11) ∀ $\tilde{a}$ ∈ $\tilde{S}$ ∀ $\tilde{b}$ ∈ $\tilde{S}$ ∀ $\tilde{c}$ ∈ $\tilde{S}$ ( $\tilde{a}$ $\preceq$ $\tilde{b}$ ↔ $\tilde{a}$ $\circ$ $\tilde{c}$ $\preceq$ $\tilde{b}$ $\circ$ $\tilde{c}$ ↔ $\tilde{c}$ $\circ$ $\tilde{a}$ $\preceq$ $\tilde{c}$ $\circ$ $\tilde{b}$ )
12) ∀ e ∈ E ∀ e ‘ ∈ E ( $\tilde{e}$ $\sim$ $\tilde{e}'$ )
13) ∀ $\tilde{a}$ ∈ $\tilde{S}$ ∃ n ∈ $\mathbb{N}$ ∃ $\tilde{e}_1$ , …, $\tilde{e}_n$ ∈ $\tilde{E}$ ( $\tilde{a}$ = ( $\tilde{e}_1$ $\circ$ ( $\tilde{e}_2$ … $\circ$ $\tilde{e}_n$ ) … ).

a) Stellen Sie einige Beziehungen graphisch dar, die aus den Relationen $\sim$ , $\preceq$ , $\circ$ stammen. Legen Sie drei Listen von Symbolen für Stäbe an, die aus drei Äquivalenzklassen stammen.

b) Stellen Sie einige Äquivalenzklassen durch Rechtecke dar. In den Rechtecken zeichnen Sie einige Punkte ein, die Stäbe darstellen sollen. Sie können auf diese Weise stichprobenartig die Hypothesen 3), 4) und 5) überprüfen.

c) In ähnlicher Weise können Sie die Hypothese 8) und 9) stichprobenartig überprüfen.

d) Interpretieren Sie Hypothesen 10) und 11) inhaltlich. (Hinweis: Was wäre, wenn die Hypothese 10) oder Hypothese 11) falsch wäre.)

e) Zeichnen Sie zwei Einheitsmaßstäbe nebeneinander auf. Hypothese 13) beschreibt den in Abbildung 9.5 im Buch dargestellten Messvorgang. Versuchen Sie zu erklären, welche Auswirkung die Größe der Einheiten im Messvorgang hat.