Ü9-5: Qualitative Ebene mit Zahlenebene verbinden

Bei einem Messmodell für Längenmessung gibt es einerseits immer qualitative Begriffe, mit denen reale Ereignisse, Dinge, Sachverhalte «direkt» in Berührung kommen. Andererseits werden die Größen, die zum Schluss als Messwerte bestimmt werden, durch Zahlen ausgedrückt.

In Ü9-4 werden nur Hypothesen behandelt, die qualitative Relationen ( $\sim$ , $\preceq$ , $\circ$ ) betreffen. Nur in der Hypothese 13) in Ü9-4:
13) ∀ $\tilde{a}$ ∈ $\tilde{S}$ ∃ n ∈ $\mathbb{N}$ ∃ $\tilde{e}_1$ , …, $\tilde{e}_n$ ∈ $\tilde{E}$ ( $\tilde{a}$ = ( $\tilde{e}_1$ $\circ$ ( $\tilde{e}_2$ … $\circ$ $\tilde{e}_n$ ) … )
kommen Zahlen «versteckt» vor. Dort wird die Anzahl n der Schritte in einem Existenzquantor ∃ n eingeführt. An dieser Stelle kommt bei einem Modell ein mathematischer Bestandteil hinzu, nämlich in diesem Fall die Menge der natürlichen Zahlen. Diese Menge funktioniert wissenschaftstheoretisch ähnlich wie eine Grundmenge. Nur werden die Axiome (die mathematischen Hypothesen) für diese Menge und für die zugehörigen Relationen nicht weiter beschrieben. Sie bleiben implizit.

Um zu einem vollständigen Messmodell zu kommen, muss eine Funktion λ eingeführt werden, die jedem Stab s die zugehörige Länge λ ( s ) zuordnet:

λ : S → $\mathbb{N}$ .

Diese Funktion soll beschreiben, wie lang ein Stab s ist. Diese Länge wird festgelegt, indem gezählt wird, wie viele Einheitsmessstäbe an den Stab angelegt werden. Diese Zahl n wird als Funktionswert λ ( s ) genommen: λ ( s ) = λ ( e₁ ) $\circ$ … $\circ$ λ ( e_n ) = n.

Im Buch sind drei Hypothesen (9.3) – (9.5) angegeben, in denen die Relation größer als (im ausschließenden Sinn) verwendet wird. s $\prec$ s ‘ bedeutet, dass s ‘ echt größer (hier länger) als s ist.

a) Formulierung sie die Hypothesen in Ü9-4 um, so dass dort nicht die Relationen $\preceq$ und ≤ sondern die Relationen $\prec$ und < verwendet werden. Beschreiben Sie das neue System mengentheoretisch.

b) Beweisen Sie, dass aus den Hypothesen in Ü9-4 die von Ihnen gerade formulierten Hypothesen abgeleitet werden können. Und umgekehrt, dass aus den von Ihnen gerade formulierten Hypothesen die Hypothesen in Ü9-4 abgeleitet werden können.

c) Versuchen Sie in dem von Ihnen in a) beschriebenen System eine Funktion λ explizit zu definieren, die von S in $\mathbb{N}$ führt. (Hinweis: Beschreiben Sie induktiv, wie ein Stab, der aus m Einheitsstäben besteht, durch einen weiteren Einheitsstab verlängert wird.)

d) Versuchen Sie, die Hypothese (9.3) im echt größer als Sinn durch Ihr Definition aus c) zu beweisen.

e) Versuchen Sie, den Beweisversuch in d), graphisch durch ein Gegenbeispiel zu untermauern. (Hinweis: Verwenden Sie Abbildung 9.5 im Buch.)