Wenn ein Modell x neben der Grundmenge G, den Relationen ⊂ G × G und
: ( G × G ) → G auch die Menge
der natürlichen Zahlen (oder
der reellen Zahlen) enthält, kann das Teilmodell 〈 G,
,
〉 durch den mathematischen Raum 〈
, <, + 〉 (oder den Raum 〈
, <, + 〉 ) innerhalb des Modells x repräsentiert werden, wenn das Modell x auch eine Repräsentationsfunktion
enthält:
: G →
(oder
: G →
).
Das Teilmodell 〈 G, ,
〉 lässt sich vergrößern, indem eine Teilmenge E von Einheitsobjekten herausgehoben wird: E ⊂ G. Die Größe der Einheitsobjekte (z.B. Stäbe) aus E wird durch die Repräsentationsfunktion
willkürlich einer ganz bestimmten Zahl — wie z.B. 1 — zugeordnet. Das heißt, ein Einheitsobjekt e hat die Größe 1;
( e ) = 1.
a) Formulieren Sie zwei Hypothesen, welche besagen, dass die Beziehung von G in die Menge
und dass die Beziehung
von G in die Menge
übertragen wird. (Hinweis: Die Übertragung geschieht durch eine Funktion
: G →
.)
b) Beschreiben Sie die Hypothese 13) aus Ü9-4 und Ü9-5 im Zahlenraum .
c) Bilden Sie zwei verschiedene Vergrößerungen mit Einheitsobjekten 〈 G, E, ,
〉 und 〈 G, E ‘,
,
〉 von 〈 G,
,
〉. Das System 〈 G, E,
,
〉 wird durch eine Funktion
und das System 〈 G, E ‘,
,
〉 durch eine Funktion
im Zahlenraum
repräsentiert. Analysieren Sie, wie sich die Größe eines Objekts, welches nicht als eine Einheit verwendet wird, verändert. (Hinweis: Bilden Sie die Hypothese 13) im Zahlenraum zwei Mal ab.)