Ü9-6: Repräsentationsfunktion – Wissenschaftstheorie

Wenn ein Modell x neben der Grundmenge G, den Relationen $\prec$ ⊂ G × G und $\circ$ : ( G × G ) → G auch die Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen (oder $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen) enthält, kann das Teilmodell 〈 G, $\prec$ , $\circ$ 〉 durch den mathematischen Raum 〈 $\mathbb{N}$ , <, + 〉 (oder den Raum 〈 $\mathbb{R}$ , <, + 〉 ) innerhalb des Modells x repräsentiert werden, wenn das Modell x auch eine Repräsentationsfunktion $\phi$ enthält: $\phi$ : G → $\mathbb{N}$ (oder $\phi$ : G → $\mathbb{R}$ ).

Das Teilmodell 〈 G, $\prec$ , $\circ$ 〉 lässt sich vergrößern, indem eine Teilmenge E von Einheitsobjekten herausgehoben wird: E ⊂ G. Die Größe der Einheitsobjekte (z.B. Stäbe) aus E wird durch die Repräsentationsfunktion $\phi$ willkürlich einer ganz bestimmten Zahl — wie z.B. 1 — zugeordnet. Das heißt, ein Einheitsobjekt e hat die Größe 1; $\phi$ ( e ) = 1.

a) Formulieren Sie zwei Hypothesen, welche besagen, dass die Beziehung $\prec$ von G in die Menge $\mathbb{R}$ und dass die Beziehung $\circ$ von G in die Menge $\mathbb{R}$ übertragen wird. (Hinweis: Die Übertragung geschieht durch eine Funktion $\phi$ : G → $\mathbb{R}$ .)

b) Beschreiben Sie die Hypothese 13) aus Ü9-4 und Ü9-5 im Zahlenraum $\mathbb{R}$ .

c) Bilden Sie zwei verschiedene Vergrößerungen mit Einheitsobjekten 〈 G, E, $\prec$ , $\circ$ 〉 und 〈 G, E ‘, $\prec$ , $\circ$ 〉 von 〈 G, $\prec$ , $\circ$ 〉. Das System 〈 G, E, $\prec$ , $\circ$ 〉 wird durch eine Funktion $\phi$ und das System 〈 G, E ‘, $\prec$ , $\circ$ 〉 durch eine Funktion $\phi '$ im Zahlenraum $\mathbb{R}$ repräsentiert. Analysieren Sie, wie sich die Größe eines Objekts, welches nicht als eine Einheit verwendet wird, verändert. (Hinweis: Bilden Sie die Hypothese 13) im Zahlenraum zwei Mal ab.)