Ü11-1: Vereinigungs- und Durchschnittsbildung

Zwei Mengen X und Y werden vereinigt, indem eine neue Menge Z gebildet wird, deren Element aus X oder aus Y stammen: Z = X ∪ Y. Die Vereinigung von zwei Mengen entspricht sprachlich der Verbindung von Sätzen oder Ausdrücken, welche sich syntaktisch durch das Wort oder verbinden lassen.

Die Elemente aus der Menge X können direkt bezeichnet werden oder sie werden durch eine Formel $\cal A$ ausgedrückt, welche eine Variable x enthält.

(a) X = { a₁, …, a_m }
oder
(b) X = { x / $\cal A$ ( x ) }.

Die Menge X könnte konkret z.B. so aussehen { Peter, Udo, Karl, Hans }. Die Formel $\cal A$ ( x ) könnte z.B. konkret so aussehen: «x ist ein deutscher, männlicher Name».
Die Vereinigung Z von Mengen X und Y in der Variante (a) wird so geschrieben:

{ a₁, …, a_m, b₁, …, b_n } = { a₁, …, a_m } ∪ { b₁, …, b_n }.

Dabei können zwei Symbole a_i, b_j dasselbe Element ausdrücken: a_i = b_j. In solchen Fällen kann man a_i oder b_j schreiben.

Die Vereinigung zweier Mengen X = { x / $\cal A$ ( x ) } und Y = { x / $\cal B$ ( x ) } wird so ausgedrückt:

{ x / $\cal A$ ( x ) ∨ $\cal B$ ( x ) } = { x / $\cal A$ ( x ) } ∪ { x / $\cal B$ ( x ) }.

Auf dieselbe Weise wird der Durchschnitt von X und Y gebildet: Z = X ∩ Y. Der Durchschnitt von zwei Mengen entspricht sprachlich der Verbindung von Sätzen oder Ausdrücken, welche sich syntaktisch durch das Wort und verbinden lassen.

{ a₁, …, a_m, b₁, …, b_n } = { a₁, …, a_m } ∩ { b₁, …, b_n }.
{ x / $\cal A$ ( x ) ∧ $\cal B$ ( x ) } = { x / $\cal A$ ( x ) } ∩ { x / $\cal B$ ( x ) }.

a) { a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈ } und { b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, b₆, b₇, b₈, b₉ } sind Mengen. Wir legen fest, dass a₄ = b₂ und b₈ = a₇ gilt. Schreiben Sie die Vereinigung der beiden Mengen so, dass keine Elemente aus der Vereinigung doppelt vorkommen.

b) Wie würden Sie die Vereinigung von { Peter, Udo, Karl, Hans } und der Menge { x / x ist ein deutscher, männlicher Name } schreiben?

c) Bilden Sie den Durchschnitt von { 2, 5422, 34, 555, 3, 13467, 0, 43, 54 } und { Peter, 555, Hans, 43, Karl, 22, Udo, 48 }.

d) Zeichnen Sie drei kreisförmige Figuren, die sich so schneiden, dass es erstens Elemente gibt, die in allen drei Mengen zu finden sind und zweitens, dass in jeder Figur auch Elemente zu finden sind, die nicht im Durchschnitt der drei Mengen liegen.