Ü12-12: Räumliche Drehung

Der 3-dimensionale Raum sei durch die Menge \mathbb{N} 3 dargestellt. Der Raum wird mathematisch durch eine Funktion A gedreht. Dazu wird ein Raumpunkt 〈 x1, x2, x3 〉 durch die Funktion A zu dem Punkt A ( 〈 x1, x2, x3 〉 ) transportiert.

Die Funktion A wird durch eine 3 × 3 Matrix dargestellt. Eine solche Matrix wird z.B. so geschrieben: \alpha^i_j i ≤ 3, j ≤ 3. \alpha^i_j ist dabei eine reelle Zahl, eine Komponente der Matrix. Der obere Index i besagt, dass die Komponente \alpha^i_j auf der i-ten Zeile in der Matrix steht. Der untere Index j besagt, dass die Komponente \alpha^i_j in der j-ten Spalte steht.

Der Funktionswert für 〈 x1, x2, x3 〉 wird wie folgt berechnet: Für jede i-te Zeile 〈 \alpha^i_1, \alpha^i_2, \alpha^i_3 〉 wird die Summe Σ j ≤ 3 \alpha^i_j ⋅ xj gebildet. Diese drei Summen werden zu einem 3-dimensionalen Vektor zusammengefasst:

A ( 〈 x1, x2, x3 〉 ) = 〈 Σ j ≤ 3 \alpha^1_j ⋅ xj, Σ j ≤ 3 \alpha^2_j ⋅ xj, Σ j ≤ 3 \alpha^3_j ⋅ xj 〉.

Wir zeichnen einen 2-dimensionalen Raum mit x– und y-Achse und tragen einen Punkt p rechts oben ein und für den Punkt die dazugehörigen Koordinaten. Wir zeichnen einen Kreis um den Nullpunkt, der durch diesen Punkt geht und zeichnen einen Pfeil, der vom Nullpunkt zum Punkt p führt. Wir drehen den Pfeil um 90° Grad im Uhrzeigersinn und zeichnen am Ende des Pfeiles den Punkt p ‘ ein. Der Raum und damit auch der Punkt p wird «nach links» gedreht. Schließlich tragen wir zwischen den beiden Pfeilen den Winkel 90° ein.

a) Zeichen Sie eine 3 × 3 Matrix auf und ordnen Sie den Zeilen die oberen Indizes zu. Ordnen Sie in ähnlicher Weise den Spalten die unteren Indizes zu.

b) Zeichnen Sie die folgende 2 × 2 Matrix auf: \alpha^1_1 = 0 = \alpha^2_2, \alpha^1_2 = 1 und \alpha^2_1 = -1. Ordnen Sie den Zahlen \alpha^1_2 und \alpha^2_1 Befehle zu, die die betreffende Koordinate verändern. Sie sehen, dass die x-Koordinate von p beim Drehen gleich geblieben ist. Die y-Koordinate x2 von p wird dagegen mit \alpha^2_1 multipliziert: \alpha^2_1 ⋅ x2 = -1 ⋅ x2. Untersuchen Sie, was passiert, wenn Sie den Winkel 90° vergrößern oder verkleinern.