Seien X, Y, X ‘ und Y ‘ Mengen und R eine Relation R ⊆ X × Y. Weiter seien injektive Funktionen f : X → X ‘ und f ‘ : Y → Y ‘ gegeben. Wir definieren die Menge Z
Z = { z / ∃ x ∈ X ∃ y ∈ Y ( 〈 x, y 〉 ∈ R ∧ z = 〈 f ( x ) , f ‘ ( y ) 〉 ) }.
Die Menge f ( x ) besteht aus den Funktionswerten aus X:
f ( x ) = { f ( x ) / x ∈ X }
und die Menge f ( y ) aus den Funktionswerten aus Y:
f ‘ ( Y ) = { f ‘ ( x ) / x ∈ X }.
a) Beweisen Sie, dass ( f ( X ) × f ‘ ( Y ) ) ⊆ ( X ‘ × Y ‘ ) und dass ℘ ( f ( X ) ) ⊆ ℘ ( X ‘ ).
b) Sei eine Relation R ‘ ⊆ X ‘ × Y ‘ gegeben. Wir nehmen an, dass R ‘ mit Z identisch ist. Können Sie sagen, dass R nach R ‘ transportiert wurde?
c) Definieren Sie die Funktion f ⊗ f ‘ : ( X × X ‘ ) → ( Y × Y ‘ ).
d) Wir nehmen an, dass R durch f ⊗ f ‘ zu R ‘ transportiert wurde. Wenn R durch die Hypothese H charakterisiert ist, gilt dann H auch für R ‘? (Hinweis: H beinhaltet, dass X oder Y nicht zu groß wird.)