Menge X ist größer als Menge Y gdw gilt:
Für alle x ∈ X gilt x ∈ Y und
es gibt Elemente y ∈ Y, so dass y kein Element von X ist.
Sei X eine endliche Menge und f : X → 
eine injektive Funktion, so dass folgende Bedingung erfüllt ist:
| Wenn x1, x2 ∈ X und n ∈ und f ( x1 ) < n < f ( x2 ), dann gibt es x3 ∈ X mit f ( x1 ) < f ( x3 ) < f ( x2 ). | (1) |
Die Größe (oder die Kardinalität) einer endlichen Menge X kann so definiert werden:
m ist die Größe von X gdw es eine injektive Funktion
f : X → gibt, die Bedingung (1) oben erfüllt und für die
gilt ∃ x ∈ X ( f ( x ) = 0 ) und ∃ y ∈ X ( f ( y ) = m ).
Die Größe von X wird durch ℵ ( X ) oder durch || X || abgekürzt. Seien X und Y endliche Mengen. Die Menge X \ Y wird wie folgt definiert.
Für alle x gilt: x ∈ X \ Y gdw x ∈ X ∧ ¬ ( x ∈ Y ).
a) Definieren Sie, was es heißt, dass eine Menge X kleiner als eine Menge Y ist.
b) Formalisieren Sie mengentheoretisch, dass X größer als Y ist und genauso, dass X kleiner als Y ist. Verwenden Sie dabei die Symbole ⊂ und ⊃.
c) Beweisen Sie: aus X ⊂ Y folgt ¬ ( Y ⊂ X ).
d) Gilt der Satz ( X ⊂ Y ) ∨ ( Y ⊂ X ) mengentheoretisch immer?
e) Zeichnen Sie die Funktion f (oben), wenn X genau 5 Elemente hat. Zeichnen Sie eine weitere Menge Y, die mit X disjunkt ist. Zeigen Sie, dass ℵ ( X ∪ Y ) = ℵ ( X ) + ℵ ( Y ).
f) Nehmen Sie die Mengen X = { a, b, c } und Y = { 1, 2, 3, 4 } und beschreiben Sie die Menge X \ Y nur mit ∈, ∧ und ¬.
g) Stellen Sie die Ungleichung || X \ ( X ∩ Y ) || < || X ∪ Y || graphisch dar.