Ü14-8: Größe von Hilfsbasismengen

In der im Buch beschriebenen einfachsten Variante eines Modells der demokratischen Wahl sind zwei Grundmengen wichtig: 1) die Menge der Wähler W und 2) die Menge der Kandidaten K. Im Buch gibt es idealisierend nur zwei Kandidaten. Realistisch gesehen gibt es mehr als zwei. Zusätzlich gibt es zwei weitere Abstimmungsmöglichkeiten. Ein Wähler kann ungültig wählen oder er kann gar nicht wählen. Wir bezeichnen diese zwei Möglichkeiten aus Vereinfachungsgründen ebenfalls als «Kandidaten». Statt von zwei Kandidaten wäre es formal also besser von mindestens vier «Kandidaten» auszugehen.

In der Beschreibung des Modells spielt ein Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) eine zentrale Rolle. Wie im Buch erörtert, gibt es verschiedene Möglichkeiten den W-Raum zu konstruieren. Bei der direktesten Variante werden die Elementarereignisse nicht als Elemente einer Grundmenge betrachtet, sondern als Konstrukte, die aus Grundobjekten bestehen. Im Buch wird die Variante diskutiert, bei der ein Elementarereignis als eine Liste von Abstimmungsmöglichkeiten angesehen wird.

Die Menge Ω der Elementarereignisse wird in der Literatur zu diesem Beispiel meist als Hilfsbasismenge verwendet. Man sieht hier direkt den Zusammenhang zwischen einer Grundmenge K und der Hilfsbasismenge Ω. Je nach Anzahl der Kandidaten wird der W-Raum anders festgelegt.

a) Formulieren Sie die Menge der Elementarereignisse als kartesisches Produkt von W und K.

b) Formulieren Sie die Hypothese, dass es im Modell genau 5 Kandidaten gibt.

c) Analysieren Sie genau, wie die Anzahl N der möglichen Elementarereignisse mit der Hypothese in b) zusammenhängt.

d) Beschreiben Sie informell, wie die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse verteilt sind.

e) Formulieren Sie Ihre in b) aufgestellte Hypothese um, so dass sie nur für zwei Kandidaten zutrifft.
Berechnen Sie einige Werte von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe beider Hypothesen. Sind die Wahrscheinlichkeiten eines Elementarereignisses in beiden Modellen dieselben?