Ü14-9: Ableitung einer Funktion

Sei f : \mathbb{R} → \mathbb{R} eine stetige Funktion und sei a0 aus \mathbb{R} gegeben. f kann am Punkt a0 abgeleitet werden gdw gilt: für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle a ∈ \mathbb{R} gilt: wenn | a – a0 | < δ, dann ist | f ( a ) – f ( a0) | / | a – a0 | < ε.

a) Formulieren Sie, dass die Funktion f im Punkt a0 differenzierbar ist. Formulieren Sie, dass Funktion f differenzierbar ist.

b) Wenn f differenzierbar ist, definieren Sie die Ableitung f ‘ von f. Verwenden Sie ein Lehrbuch über Analysis oder informieren Sie sich auf Wikipedia.

c) Zeichnen Sie eine stetige Funktion f und ein Argument a0 von f in einem Koordinatensystem ein. Zeichnen Sie die δ-Umgebung von a0 auf der x-Achse ein. Zeichnen Sie die beiden Funktionswerte f ( a ) und f ( a0 ) ein. Bilden Sie ein Dreieck, in dem Sie die x-Koordinaten von f ( a ) und f ( a0 ) als Linien für eine horizontale Linie verwenden, welche entweder durch f ( a ) oder durch f ( a0 ) geht. Sie sehen, wie sich dieses Dreieck verändert, wenn Sie das Argument näher an a0 schieben.