Wir betrachten zwei Modelle x = 〈 P, G, E, zw, kon 〉 und y = 〈 K, li 〉. x ist ein geometrisches Modell, P ist eine Menge von Punkten, G eine Menge von Geraden, E eine Menge von Ebenen, zw die zwischen-Relation und kon die Kongruenzrelation. y ist ein Modell für Netze; K ist eine Menge von Knoten und li ist eine Menge von Linien. Dabei werden die Linien li als Mengen von Paaren von Knoten aufgefasst: l ∈ li, l = 〈 k, k ‘ 〉, k , k ‘ ∈ K. Wir bilden ein spezielles geometrisches Modell für Dreiecke. In dem Modell x werden drei Punkte a, b, c ausgewählt und es wird gefordert, dass keiner der Punkte zwischen den zwei anderen Punkten liegt.
Auf ähnliche Weise können wir ein spezielles Netzmodell bilden. Drei Knoten A, B, C werden ausgewählt, wobei von jedem Knoten eine Linie zu jedem der restlichen Knoten führt.
a) Beschreiben Sie die beiden spezielleren Modelle mengentheoretisch genauer.
b) Bilden Sie eine injektive Funktion Φ : K → P. Stellen Sie diese Situation graphisch dar. Zeichnen Sie einige Knoten aus K in einer 2-dimensionalen Ebene auf.
c) Definieren Sie, dass Φ ( A ) = a, Φ ( B ) = b und Φ ( C ) = c. Sie sehen, dass es in beiden Spezialmodellen Dreiecke gibt. Prüfen Sie, ob das Dreieck in x isomorph zu einem Teilsystem aus y ist. (Hinweis: «Übersetzen» Sie den Sachverhalt zw ( u, v, w ) in die Notation von Netzen.)