Ü15-8: Isomorphe Modelle

Wir betrachten zwei geometrische Modelle x = 〈 P, G, L, zw, kon 〉 und y = 〈 \mathbb{R} 3, d 〉. P ist «die» Menge von Punkten, G «die» Menge von Geraden, L «die» Menge von Linien, zw die zwischen-Relation und kon die Kongruenzrelation. In einer bestimmten Interpretation können wir auch die Menge \mathbb{R} 3 als «die» Menge der geometrischen Punkte auffassen. Ein Punkt a wird dabei als ein Tripel 〈 α1, α2, α3 〉 von reellen Zahlen angesehen. d ist die Abstandsfunktion, d\mathbb{R} 3 × \mathbb{R} 3 → \mathbb{R}.

a) Wir nehmen an, dass es eine bijektive Funktion f von P nach \mathbb{R} gibt, f : P → \mathbb{R} 3. Für alle a ∈ P:

f ( a ) = 〈 α1, α2, α3 〉.

Wir definieren, dass

d ( 〈 α1, α2, α3 〉, 〈 β1, β2, β3 〉 ) = \sqrt[2]{ \Sigma_{i=1}^3 (\alpha_i - \beta_i )^2 }.

Definieren Sie, dass drei Punkte a, b, c ∈ P in der zwischen-Relation liegen gdw gilt d ( a, b ) + d ( b, c ) = d ( a, c ). (Hinweis: Punkte werden durch Zahlentripel ersetzt). Zeichnen Sie die Punkte und die Abstände in einem 2-dimensionalen Raum auf.

b) Definieren Sie, dass vier Punkte a, b, c, e kongruent sind gdw die zugehörigen Zahlentripel die richtigen Abstände haben.

c) Versuchen Sie, ein Axiomensystem zu finden, welches in beiden Modellen interpretiert werden kann. Untersuchen Sie stichprobenartig, ob Axiome die in x auch in y gültig sind.