Ü17-5: Gleichzeitigkeitsklassen – Wissenschaftstheorie

Seien Z = { 1, 2, …, 5, 6 }, A = { x, y, z }, Z₁ = { $t^x_1$ , $t^x_2$ }, Z₂ = { $t^y_1$ , $t^y_2$ , $t^y_3$ } und Z₃ = { $t^z_1$ , $t^z_2$ , $t^z_3$ , $t^z_4$ } Mengen und
<₁ die Menge:

<₁ = { $t^x_1$ , $t^x_2$ },

<₂ die Menge

<₂ = { $t^y_1$ , $t^y_2$ , $t^y_3$ } und

<₃ die Menge

<₃ = { $t^z_1$ , $t^z_2$ , $t^z_3$ , $t^z_4$ }.

a) Beweisen Sie, dass 〈 Z₁, <₁ 〉, 〈 Z₂, <₂ 〉 und 〈 Z₃, <₃ 〉 Zeitkomponenten sind. D.h. beide Systeme erfüllen die Hypothesen 17.1 – 17.3 aus dem Buch.

b) Zeichnen Sie eine zweidimensionale Ebene mit den beiden Achsen und tragen Sie die Elemente aus der Menge Z₁ in vertikaler Anordnung als Punkte auf einer Linie ein. D.h. das Element $t^x_2$ liegt über dem Element $t^x_1$ . Verfahren Sie bei Z₂ und Z₃ auf dieselbe Weise. Tragen Sie auf der horizontalen Achse die Symbole x, y, z als Punkte und auf der vertikalen Achse weiter links die Zahlen 1, 2, …, 5, 6 in ihrer natürlichen Reihenfolge ein.

c) Definieren Sie eine Funktion f₁, welche die Menge { $t^x_1$ , $t^x_2$ } injektiv in die Menge { 1, …, 6 } abbildet. Verfahren Sie mit den Mengen { $t^y_1$ , $t^y_2$ , $t^y_3$ } und { $t^z_1$ , $t^z_2$ , $t^z_3$ , $t^z_4$ } in ähnlicher Weise.

d) Bilden Sie mit Hilfe der Funktionen f₁, f₂, f₃ Äquivalenzklassen. Die Elemente aus einer Äquivalenzklasse sollen horizontal zueinander liegen. (Hinweis: z.B. $t^x_2$ ∼ $t^y_2$ oder $t^y_3$ ∼ $t^z_3$ sollte gelten.)

e) Wir definieren andere Funktionen g₁, g₂, g₃ wie folgt:

g₁ ( $t^x_1$ ) = 2, g₁ ( $t^x_2$ ) = 4
g₂ ( $t^y_1$ ) = 1, g₂ ( $t^y_2$ ) = 3, g₂ ( $t^y_3$ ) = 4
g₃ ( $t^z_1$ ) = 2, g₃ ( $t^z_2$ ) = 3, g₃ ( $t^z_3$ ) = 4, g₃ ( $t^z_4$ ) = 6.

Zeichnen Sie die Punkte $t^x_1$ , …, $t^z_4$ in der Ebene so ein, dass jeder Punkt horizontal neben der Zahl i ( i ∈ { 1, …, 6 } ) zu liegen kommt. Bilden Sie — wie in d) — Äquivalenzklassen mit Hilfe der Funktionen g₁, g₂, g₃.

f) Wir interpretieren die Symbole x, y, z durch die Theorien T₁, T₂, T₃ und die Symbole $t^i_j$ ( i ∈ { x, y, z }, j ∈ { 1, …, 4 } ) durch Zeitpunkte. $t^i_j$ soll bedeuten, dass T_i zum Zeitpunkt Nummer j existiert. Der Funktionswert g_i ( $t^i_j$ ) drückt einen bestimmten Zeitpunkt — hier eine Zahl 1, …, 6 — aus, zu dem Theorie T_i existiert. Diskutieren Sie, wie Sie die Zeitpunkte der drei Theorien in eine Gesamtordnung gebracht haben.