Theorie der Körper (KOP)

Grundmenge
K   Menge von Zahlen

Relation
<   «kleiner als» für Zahlen

Funktionen
+   Additionsfunktion
⋅    Multiplikationsfunktion

Konstanten
0   die Zahl «Null»
1   die Zahl «Eins»
-1  die Zahl «Minus Eins»

Typisierungen
θ1   < ∈ ℘ ( K × K )
θ2   + ∈ \cal FUN (K × K : K )
θ3   ⋅ ∈ \cal FUN ( K × K : K )
θ4   0 ∈ K
θ5   1 ∈ K
θ6  -1 ∈ K

Hypothesen
Für alle a, b, c ∈ K
H1   ( a + b ) + c = a + ( b + c )
H2   a + 0 = a
H3   a + ( – 1 ⋅ a ) = 0
H4   a + b = b + a
H5   ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
H6   a ⋅ 1 = a
H7   a ≠ 0 → ∃ e ∈ K ( a ⋅ e = 1 )
H8   a ⋅ b = b ⋅ a
H9   a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
H10  0 ≠ 1
H11  ¬ ( a < a )
H12  a < b → b < c → a < c
H13  a < b ∨ a = b ∨ b < a
H14  a < b → a + c < b + c
H15  0 < a → 0 < b → 0 < a ⋅ b
H16  e ∈ K ( a < e < b )

Modelle
x ist ein Modell der Körper M(KOP) gdw es 0, 1, -1 und Mengen K, <, +, ⋅ gibt, so dass gilt:

x = 〈 K, <, +, ⋅, 0, 1, -1 〉

und die Komponenten <, +, ⋅, 0, 1, -1 haben die Typen θ1, …, θ3 und die Hypothesen H1 ( K, <, +, ⋅ , 0, 1, -1 ) und … und H16 ( K, <, +, ⋅, 0, 1, -1 ) gelten in x.

Transformationen
1) ta   (Translation)

ta : K → K, a ∈ K, ∀ u ∈ K ( ta ( u ) = u + a )

2) da   (Dilatation)

da : K → K, a ∈ K, ∀ u ∈ K ( da ( u ) = a ⋅ u )

3) iso   (Isomorphismus)

iso : K → K, iso ist bijektiv und es gilt:
Für alle a, b, c ∈ K: wenn H1 – H16 gelten, dann gelten H1 – H16 auch, wenn a, b, c jeweils durch iso ( a ), iso ( b ), iso ( c ) ersetzt werden.