Theorie der Verbände (VER)

Grundmenge
O   Menge von Objekten

Relationen
   Durchschnitt
∪   Vereinigung

Konstanten
0   Nullelement
1   Einselement

Typisierungen
Θ1    ∈ \cal FUN ( O × O : O )
Θ2   ∪ ∈ \cal FUN ( O × O : O )
Θ3   0 ∈ O
Θ4   1 ∈ O

Hypothesen
Für alle a, b, c ∈ O gilt:
H1   a  bb  a
H2   a ∪ bb  a
H3   a ∩ b ) ∩ ca ∩ ( b ∩ c )
H4   a ∪ b ) ∪ ca ∪ ( b ∪ c )
H5   a ∩ ( a ∪ b ) = a
H6   a ∪ ( a ∩ b ) = a
H7   a ∩ 0 = 0 ∧ a ∪ 0 = a
H8   a ∩ 1 = a ∧ a ∪ 1 = 1
H9   a ca ∩ a c = 0 ∧ a ∪ a c = 1 )
H10  a ∩ ( b ∪ c ) = ( a ∩ b ) ∪ ( a ∩ c )
H11  a ∪ ( b ∩ c ) = ( a ∪ b ) ∩ ( a ∪ c )

Modelle
x ist ein komplementärer, distributiver Verband mit Null und Eins gdw es 0, 1 und Mengen O, ∩, ∪ gibt, so dass gilt:

x = 〈 O, ∩, ∪, 0, 1 〉

und die Relationen und Konstanten haben die Typen Θ1, …, Θ4
und die Hypothesen H1O, ∩, ∪, 0, 1 ), …, H11O, ∩, ∪, 0, 1 ) gelten in x.

I(VER) ist die Menge der intendierten Systeme.

Varianten
Ein allgemeiner Verband erfüllt nur H1, …, H6
Ein Verband mit Null und Eins erfüllt H1, …, H8
Ein komplementärer Verband erfüllt H1, …, H9,
Ein Boolescher Verband erfüllt H1, …, H11

Beispiele
– Systeme von Ausdrücken in natürlichen Sprachen
– Systeme von mathematischen Objekten