2019 SoSe – Seminarstunde 08

Struktur und Invarianz

Struktur eines Modells und einer Modellklasse

Struktur der Modelle einer Theorie

Die Struktur der Modelle einer Theorie enthält zwei Teile, nämlich erstens drei natürliche Zah­len κ, μ und ν und zweitens für jede Zahl i ≤ ν eine Typisierung τ_i. κ ist die Anzahl der Grund­mengen, μ die Anzahl der Hilfsbasismengen und ν die Anzahl der Relationen aus Mo­dellen einer Theorie. Dabei sind κ und ν positive Zahlen, während μ auch Null sein kann.

Eine Typisierung τ_i ist eine kodierte Regel, welche angibt, wie Relationen der Art Nummer i aus Grundmengen und aus Hilfsbasismengen des Modells zusammengesetzt werden. Der Be­griff der Typisierung nimmt in der Wissenschaftstheorie einen zentralen Platz ein.

Eine Theorie T hat immer auch eine Struktur STR. Die Struktur STR wird durch die Zahlen κ, μ, ν und die ν Typisierungen τ₁, …, τ_ν beschrieben: STR = 〈 κ, μ, ν, τ₁, …, τ_ν 〉.

Der Begriff der Struktur bezieht sich in erster Linie auf die Theorie, erst in zweiter Linie auf bestimmte Modelle. Eine Typisierung τ_i in einer Theorie gilt für alle Relationen, die als ( κ + μ + i )-te Komponente der Modelle zu finden sind.

Typisierte Potenzmenge

Das Verfahren der Typisierung führt zu einer großen Menge (der Potenzmenge) von Möglichkeiten, es wird aber kein bestimmtes Element aus diesen Möglichkeiten ausgewählt. Die Auswahl eines bestimmten Elements aus der typisierten Potenzmenge, bleibt an die­ser Stelle völlig offen. Es hätte auch eine andere Relation aus der Potenzmenge entnom­men werden können.

Somit kann man sagen, dass sich aus einem Modell dessen Struktur eindeutig ergibt, aber umgekehrt aus einer Struktur nicht das Modell, welches über diese Struktur verfügt. Ausgehend von gegebenen Grundmengen und Typisierungen legt die Struktur nur fest, in welcher Potenzmenge die Relation R_i liegt, aber nicht wie sie im Detail aussieht.

Mehr lässt sich nur sagen, wenn die Hypothesen für das Modell genauer spezifiziert werden. Fest steht, dass eine gegebene Modellklasse eine eindeutig bestimmte Struktur hat. Alle Modelle der Klasse haben dieselbe Struktur.

Kartesisches Produkt und Potenzmenge

Anwendungsbereiche für den Strukturbegriff

Der so beschriebene Begriff der Struktur wird in der Wissenschaftstheorie für drei verschie­dene Bereiche von Untersuchungen eingesetzt:

• In einem ersten Bereich werden verschiedene Transformationen von Modellen untersucht. Ein bestimmter Aspekt, ein Teil des Modells, bleibt bei einer Transformation gleich; eine Eigen­schaft eines Modells bleibt invariant.
• In einem zweiten Anwendungsbereich der Wissenschaftstheorie wird der Strukturbegriff ein­gesetzt, wenn eine Struktur in mehreren Disziplinen verwendet wird. Es gibt einige Fälle, in denen zwei Modelle aus verschiedenen Theorien dieselbe Struktur haben. Es gibt auch Fälle, in denen zwei Modelle beider Theorien zwar nicht die gleiche Struktur haben, aber Teilmo­delle aus beiden Theorien dieselbe (Teil-) Struktur besitzen.
• Eine weitere Anwendung des Strukturbegriffs betrifft die Übertragung der Struktur von Mo­del­len und der Modellklassen auf die gesamte Theorie. Dieser Punkt ist wissenschaftstheore­tisch interessant, weil er verschiedene Unterscheidungen und Klassifizierungen ermöglicht.